§ 4. Тетраэдр и параллелепипед

Определения и обозначения

Тетраэдр — многогранник, поверхность которого состоит из четырёх треугольников. Его вершины обычно обозначают A, B, C, D, рёбра — AB, AC, AD, BC, BD, CD, а грани — ABC, ABD, ACD, BCD. По этим обозначениям удобно описывать, какие точки соединены и какие треугольники образуют поверхность фигуры.

Треугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит треугольник. Если основание обозначить ABC, а вершину пирамиды — D, то её боковые грани будут треугольниками ABD, ACD и BCD. Любой тетраэдр можно представить именно так: одну из его граней выбирают основанием, а четвёртая вершина становится вершиной пирамиды.

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм. Его вершины часто обозначают ABCDA₁B₁C₁D₁: ABCD и A₁B₁C₁D₁ — основания, остальные грани — боковые. Такая запись помогает различать соответствующие вершины и быстро называть грани фигуры.

Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Например, в параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ отрезок AC₁ — диагональ всего тела, а не отдельной грани. Это определение нужно, чтобы не путать пространственные диагонали с диагоналями параллелограммов на поверхности.

Как это устроено

У тетраэдра четыре вершины, и каждая его грань образована тремя из них. Любую пару вершин соединяет ребро, поэтому всего получается шесть рёбер: AB, AC, AD, BC, BD и CD. Каждое ребро входит ровно в две грани: например, AB принадлежит треугольникам ABC и ABD. Такая связь объясняет, почему у замкнутой поверхности нет ребра, прилегающего только к одной грани.

Чтобы получить треугольную пирамиду, сначала выбирают треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Затем точку D соединяют отрезками с A, B и C: эти отрезки становятся боковыми рёбрами, а треугольники ABD, ACD и BCD — боковыми гранями. Условие о точке вне плоскости основания необходимо: иначе все четыре точки окажутся в одной плоскости и объёмная пирамида не получится. В результате у фигуры будет одно треугольное основание и три боковые грани.

Параллелепипед устроен как призма с параллелограммом в основании. Верхнее основание получается параллельным переносом нижнего, поэтому соответствующие стороны параллельны и равны, а боковые грани тоже оказываются параллелограммами. Противоположные боковые грани лежат в параллельных плоскостях и имеют одинаковую форму и размеры. Поэтому все шесть граней параллелепипеда — параллелограммы, а три пары противоположных граней параллельны и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам благодаря свойствам его граней. Например, диагонали параллелограмма ABCD пересекаются и делятся пополам; то же верно для параллелограмма AA₁C₁C, проходящего через диагональ AC основания. Эти пересечения показывают, что середина диагонали AC₁ совпадает с серединой диагонали A₁C. Аналогично устроена вторая пара пространственных диагоналей, поэтому все четыре проходят через общий центр и каждая делится им на две равные части.

Диагонали граней и диагонали всего параллелепипеда отличаются положением концов. Отрезок AC лежит в грани ABCD, потому что обе его вершины принадлежат этой грани; следовательно, это диагональ грани. У отрезка AC₁ вершины не лежат ни на одной общей грани, поэтому он проходит через внутренность тела и является пространственной диагональю. Чтобы определить вид отрезка, проверьте не только, соединяет ли он несоседние вершины, но и принадлежат ли они одной грани.

Сравнение тетраэдра и параллелепипеда

Сначала сравните число вершин, рёбер и граней, чтобы не переносить свойства одной фигуры на другую. Затем обратите внимание на форму граней и наличие пространственных диагоналей: у тетраэдра все вершины попарно соединены рёбрами, а у параллелепипеда есть диагонали, проходящие внутри тела. Таблица помогает быстро проверить ответ при перечислении элементов многогранника.

Разбор задач

Задача 1

У тетраэдра обозначены вершины A, B, C, D. Перечислите его грани и рёбра. Чтобы не пропустить элементы, нужно рассмотреть все тройки вершин для граней и все пары вершин для рёбер. Важно помнить, что не всякая произвольная фигура с четырьмя вершинами была бы тетраэдром, но здесь тетраэдр задан.

1. Составим треугольники из троек вершин: ABC, ABD, ACD и BCD.
2. Составим отрезки из пар вершин: AB, AC, AD, BC, BD и CD.
3. Проверим количество: получились четыре грани и шесть рёбер, как и должно быть у тетраэдра.

Ответ: грани ABC, ABD, ACD, BCD; рёбра AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Задача 2

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Назовите пары противоположных граней и диагонали параллелепипеда. Сначала полезно отделить грани от диагоналей: грань содержит четыре вершины, а диагональ тела соединяет вершины, которые не встречаются в одной грани. По обозначениям видно, что нижнее и верхнее основания — ABCD и A₁B₁C₁D₁.

1. Запишем пару оснований: ABCD и A₁B₁C₁D₁.
2. Сопоставим боковые грани на противоположных сторонах: ABB₁A₁ и DCC₁D₁; BCC₁B₁ и ADD₁A₁.
3. Для диагоналей проверим пары противоположных вершин, не лежащих на одной грани: AC₁, A₁C, BD₁ и B₁D.

Ответ: ABCD и A₁B₁C₁D₁; ABB₁A₁ и DCC₁D₁; BCC₁B₁ и ADD₁A₁. Диагонали параллелепипеда: AC₁, A₁C, BD₁, B₁D.

Задача 3

В параллелепипеде диагонали пересекаются в точке O. Если длина диагонали AC₁ равна 14 см, найдите длину отрезка AO. Здесь не требуется искать длины сторон или рассматривать прямоугольный треугольник: достаточно свойства пересечения диагоналей. Точка O — середина каждой диагонали, в том числе AC₁.

1. Запишем, что O делит AC₁ пополам: AO = OC₁.
2. Разделим длину диагонали на две равные части: AO = 14 : 2 = 7 см.
3. Проверим смысл результата: две половины по 7 см дают исходные 14 см.

Ответ: AO = 7 см.

Типичные ошибки

Диагональ грани иногда называют диагональю параллелепипеда, потому что оба отрезка соединяют несоседние вершины. Но диагональ грани целиком лежит на поверхности, а пространственная диагональ соединяет вершины, не принадлежащие одной грани. Перед ответом проверьте, можно ли указать грань, содержащую оба конца отрезка. Если можно, это диагональ грани, а не всего тела.

Ошибочно считать, что у тетраэдра есть параллельные грани: его грани — треугольники, и любые две из них имеют общее ребро. Параллельные плоскости не пересекаются, тогда как такие грани тетраэдра пересекаются по ребру. Проверить себя можно, перечислив четыре грани: у каждой пары обнаружится общее ребро, поэтому параллельной пары нет.

Число рёбер тетраэдра иногда путают с числом граней, потому что обе величины невелики. Граней четыре, а рёбер шесть: грани составляются из троек вершин, рёбра — из пар. Для проверки перечислите все пары из A, B, C, D и убедитесь, что их шесть; затем отдельно запишите четыре треугольника-граня.

Из свойства о пересечении диагоналей не следует, что диагонали параллелепипеда равны. Оно означает только, что общая точка делит каждую диагональ пополам; длины разных диагоналей могут отличаться. Такое различие особенно важно у наклонного параллелепипеда. Проверяйте формулировку: равенство половин одной диагонали не даёт равенства целых диагоналей.

Связь с другими темами

Для изучения этих многогранников понадобятся определения многогранника, призмы и пирамиды, а также свойства параллелограмма. Они помогают понять, из каких плоских фигур складывается поверхность и почему противоположные грани параллелепипеда равны. Позже те же представления пригодятся при построении сечений многогранников. Свойства граней и диагоналей также используют при вычислении длин отрезков и углов в пространственных фигурах.

Что запомнить

• Тетраэдр имеет четыре треугольные грани, шесть рёбер и четыре вершины.
• Тетраэдр является треугольной пирамидой.
• У параллелепипеда все грани — параллелограммы.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке.
• Точка пересечения диагоналей параллелепипеда делит каждую из них пополам.