"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сонаправленными называют лучи, которые лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону; совпадающие лучи тоже относятся к ним. Если стороны двух углов попарно сонаправлены, углы равны: направления их сторон задают одинаковый поворот. Это свойство помогает находить углы и доказывать утверждения, но применять его можно только после проверки обеих пар лучей и их направлений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сонаправленные лучи — это лучи, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону. Если лучи совпадают, их тоже считают сонаправленными: они имеют одно направление, хотя лежат не на двух разных прямых. Понятие помогает отличать одинаковые направления от противоположных, которые могут встретиться у параллельных прямых.
Соответственно сонаправленными сторонами углов называют пары сторон двух углов, в которых лучи одного угла сонаправлены лучам другого. Слово «соответственно» означает, что стороны нужно сопоставить попарно, а не сравнивать все лучи сразу. Такое сопоставление позволяет проверить, выполнено ли условие для обоих направлений угла.
Углы с сонаправленными сторонами — углы, стороны которых соответственно сонаправлены. Иными словами, первая сторона одного угла сонаправлена с одной стороной другого, а вторая — со второй. Это определение нужно, чтобы применить свойство: такие углы равны.
Чтобы проверить чертёж, обозначьте стороны одного угла, например a и b, а второго — c и d. Затем сравните лучи по отдельности: выясните, сонаправлен ли a с c и b с d, либо соответствие задано иначе. Для каждой пары нужно проверить и параллельность прямых, на которых лежат лучи, и то, что лучи направлены в одну сторону. Если хотя бы одно условие не выполнено, стороны не являются соответственно сонаправленными.
Почему из этого следует равенство углов? Направление первой стороны задаёт начальное положение, а направление второй — конечное; угол измеряет поворот между ними. Когда начальные стороны направлены одинаково и конечные стороны тоже направлены одинаково, поворот от первой к второй имеет ту же величину. Поэтому градусные меры углов совпадают, даже если их вершины расположены в разных местах.
На чертеже углы могут выглядеть по-разному: один может быть нарисован выше другого, справа или слева, а вершины могут не совпадать. Это не меняет направлений их сторон. Например, если обе стороны одного угла параллельны сторонам другого и направлены с ними в одну сторону, углы равны независимо от расстояния между вершинами. Ориентироваться нужно на направления лучей, а не на то, насколько похожими кажутся сами фигуры.
Соответствие сторон нельзя выбирать произвольно. Сначала найдите, какой луч одного угла сонаправлен с первым лучом другого, и затем проверьте оставшуюся пару. Если сопоставить стороны перекрёстно, одна пара может оказаться направленной противоположно, и условие теоремы не будет выполнено. Поэтому равенство применяют только после проверки обеих пар в правильном соответствии.
Пользуйтесь таблицей как короткой проверкой перед вычислением. Сначала установите соответствие между сторонами и проверьте направление каждого луча. Только если выполнены оба условия в таблице, можно сделать вывод о равенстве углов.
| Что проверяем | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Первая пара сторон | Лучи лежат на параллельных прямых и направлены одинаково | Первая пара сонаправлена |
| Вторая пара сторон | Лучи лежат на параллельных прямых и направлены одинаково | Вторая пара сонаправлена |
| Соотношение углов | Обе пары сторон соответственно сонаправлены | Углы равны |
Задача 1. Даны два угла, стороны которых по рисунку соответственно сонаправлены. Найдите второй угол, если первый равен 38°. Решение выполняем по условию, а не по внешнему виду углов. Это позволяет не зависеть от масштаба чертежа.
Сопоставим стороны углов попарно. Проверим, что луч первой стороны одного угла сонаправлен с первой стороной другого, а оставшиеся лучи тоже сонаправлены.
Условие о двух парах выполнено, значит, углы равны. Обозначим второй угол за x и запишем x = 38°.
Получили величину второго угла без дополнительных вычислений. Ответ: 38°.
Задача 2. В четырёхугольнике продолжили стороны, и образовались два угла. Один угол равен 64°, а соответствующие стороны углов лежат на параллельных прямых. Найдите второй угол, если по направлению лучи в обеих парах сонаправлены. Решение требует не просто увидеть параллельность, а проверить направление лучей.
Для первой пары установим, что лучи сонаправлены, а не направлены навстречу друг другу. Затем так же проверим вторую пару.
Обе пары соответствующих сторон сонаправлены, поэтому углы равны. Если второй угол обозначить x, получаем x = 64°.
Проверка состоит в том, что значение совпадает с углом, равенство которого следует из условия. Ответ: 64°.
Задача 3. Дан исходный угол 50° и три других угла. У каждого из них стороны параллельны сторонам исходного угла; на чертеже направления лучей указаны отдельно. У первого обе пары сонаправлены, у второго сонаправлена только одна пара, а у третьего обе пары направлены противоположно соответствующим лучам. Определите, какой угол равен исходному, и найдите его величину.
Для первого угла проверяем обе пары: обе стороны сонаправлены с соответствующими сторонами исходного угла. Следовательно, по свойству углы равны.
У второго сонаправлена только одна пара, поэтому условия для вывода о равенстве нет. У третьего лучи параллельны, но направлены противоположно, так что он также не подходит под условие.
Значит, исходному равен первый из трёх углов. Его величина равна 50°. Ответ: первый угол, 50°.
Ошибка: считать любые параллельные лучи сонаправленными. Так думают, потому что параллельность видна на чертеже, а направление легко упустить; однако лучи на параллельных прямых могут смотреть в разные стороны. Проверьте, куда указывает начало стрелки каждого луча: направления должны совпадать.
Ошибка: проверить только одну пару сторон. Одна сонаправленная пара ещё не определяет угол, поскольку вторая сторона задаёт, куда заканчивается поворот. Чтобы проверить себя, перечислите обе пары и отметьте для каждой параллельность и направление.
Ошибка: сопоставить стороны перекрёстно. Иногда такое соответствие кажется удобным из-за расположения углов, но тогда один из лучей может быть противоположно направлен соответствующему. Проверьте обе пары после сопоставления; если обе не сонаправлены, выберите правильное соответствие или откажитесь от применения свойства.
Ошибка: объявить углы равными только потому, что они похожи на рисунке. Чертёж может быть выполнен неточно, а визуальное впечатление не заменяет условия задачи. Найдите сведения о параллельности и направлениях лучей и сделайте вывод по ним.
Для работы с этим свойством нужно знать, что такое луч, угол и параллельные прямые, а также отличать сонаправленные лучи от противоположно направленных. Эти понятия помогают точно прочитать условие и проверить пары сторон. Равенство углов с сонаправленными сторонами используется в задачах о параллельных прямых, когда нужно найти неизвестный угол. Оно также помогает обосновывать геометрические утверждения, где равенство не очевидно из чертежа.
Чем сонаправленные лучи отличаются от просто параллельных?
Параллельные лучи могут быть направлены как в одну, так и в противоположные стороны. Сонаправленные лучи обязательно лежат на параллельных прямых и направлены одинаково. Поэтому одной параллельности недостаточно.
Могут ли совпадающие лучи считаться сонаправленными?
Да. Совпадающие лучи лежат на одной прямой и имеют одно и то же направление. Поэтому их считают сонаправленными.
Почему углы с соответственно сонаправленными сторонами равны?
У соответствующих сторон таких углов одинаковые направления. Значит, поворот от первой стороны ко второй имеет одну и ту же величину, а эта величина и есть градусная мера угла.
Достаточно ли, чтобы сонаправленной была только одна пара сторон?
Нет. Для применения свойства нужно проверить обе пары соответствующих сторон. Одна совпадающая по направлению пара не определяет величину второго угла.
Как определить соответствие сторон, если углы расположены на чертеже по-разному?
Сравните направление каждого луча одного угла с направлениями лучей другого. Сопоставьте стороны так, чтобы первая пара была сонаправлена и вторая пара тоже была сонаправлена. Положение вершин и внешний вид углов сами по себе соответствие не задают.
2.2. Углы с сонаправленными сторонами
