8. Углы с сонаправленными сторонами

Определения и обозначения

Сонаправленные лучи — это лучи, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону. Совпадающие лучи тоже называют сонаправленными: они имеют общую точку и одинаковое направление. Это понятие позволяет различать не только положение прямых, но и то, куда направлена каждая сторона угла.

Угол с сонаправленными сторонами — угол, стороны которого сонаправлены соответственно сторонам другого угла. Слово «соответственно» означает, что каждому лучу первого угла поставлен в пару определённый луч второго. Такое уточнение нужно, чтобы не спутать порядок сторон и правильно применить свойство.

Углами с сонаправленными сторонами называют два угла, для которых обе пары соответствующих сторон сонаправлены. Соответствие задают именно попарно, а не просто отмечают, что все стороны лежат на параллельных прямых. Равные углы — это углы с одинаковыми градусными мерами; следовательно, вывод об их равенстве означает равенство числовых величин.

Как это устроено

Чтобы проверить сонаправленность лучей, сначала установи, что они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Затем сравни направления: лучи должны идти в одну сторону, а не навстречу друг другу. Например, параллельные прямые сами по себе не сообщают, сонаправлены ли выбранные на них лучи: это определяется положением начал и направлением каждого луча.

Если обе пары соответствующих сторон сонаправлены, углы равны. Причина в том, что параллельный перенос перемещает вершину одного угла к вершине другого и совмещает каждую сторону с соответствующей. Перенос не поворачивает фигуру и не меняет угол между лучами, поэтому градусные меры совпадают.

Сначала определи, какие стороны считаются соответствующими, и запиши пары, например OA и DC, OB и DE. После этого проверяй направление внутри каждой пары; нельзя сопоставить сторону OA с DE только потому, что обе стороны параллельны. Такая последовательность защищает от перестановки сторон, которая может изменить вывод о равенстве или дополнительности углов.

Вершины углов могут быть различными: перенос как раз помогает мысленно совместить их. Если соответствующие лучи совпадают, они сонаправлены, поэтому это не мешает применить утверждение. Для вывода о равенстве всё равно нужно проверить вторую пару; совпадение или сонаправленность только одной пары недостаточны.

В задачах направление сторон подсказывает, какое соотношение использовать. При двух сонаправленных парах градусные меры равны, и неизвестную величину можно найти из равенства. Если одна пара направлена противоположно, углы в обычном случае дополнительны, то есть их сумма равна 180°; полученное соотношение помогает составить уравнение или обосновать нужное геометрическое равенство.

Направление соответствующих сторон и величина углов

Пользуйся таблицей только после того, как установил соответствие сторон. Проверь направление обеих пар отдельно, а затем выбери нужный вывод. Одна противоположно направленная пара меняет равенство углов на дополнительность.

Разбор задач

Задача 1. Стороны угла AOB соответственно сонаправлены сторонам угла CDE. Найдите угол CDE, если угол AOB равен 48°. Здесь условие сразу сообщает о сонаправленности обеих соответствующих пар. Значит, можно сравнить градусные меры углов.

1. По свойству углов с сонаправленными сторонами ∠AOB = ∠CDE.
2. Подставляем известное значение: ∠CDE = 48°.

Ответ: 48°.

Задача 2. Даны углы величиной 3x + 10° и 5x − 30°. Их стороны соответственно сонаправлены. Найдите x и величину углов. Поскольку сонаправлены обе пары сторон, углы равны; поэтому приравниваем выражения, а не складываем их.

1. Составляем уравнение: 3x + 10 = 5x − 30.
2. Переносим слагаемые: 40 = 2x, откуда x = 20.
3. Подставляем значение: 3 · 20 + 10 = 70°, а 5 · 20 − 30 = 70°.

Ответ: x = 20, каждый угол равен 70°.

Задача 3. Стороны угла AOB соответственно параллельны сторонам угла CDE, лучи OA и DC сонаправлены, а ∠AOB = 72°. Определите возможную величину ∠CDE. Известно направление только первой пары, поэтому вторую нужно рассмотреть отдельно: параллельные лучи DE и OB могут быть сонаправлены или противоположно направлены.

1. Если OB и DE сонаправлены, сонаправлены обе пары сторон, поэтому ∠CDE = 72°.
2. Если OB и DE противоположно направлены, одна пара сонаправлена, а другая противоположно направлена. Тогда углы дополнительны: ∠CDE = 180° − 72° = 108°.

Ответ: возможны 72° или 108°; выбор зависит от направления лучей OB и DE.

Типичные ошибки

Считать параллельность сторон достаточной для равенства. Так ошибаются, потому что рассматривают прямые, но забывают о направлении лучей. Проверь обе пары: если в одной из них лучи противоположно направлены, равенство может смениться дополнительностью.

Сопоставлять стороны в разном порядке. Параллельность может подходить сразу для нескольких пар, поэтому легко выбрать не те соответствия. Запиши пары по условию и не меняй их местами в середине решения; затем убедись, что сравниваешь именно соответствующие лучи.

Путать сонаправленные и противоположно направленные лучи. Первые идут в одну сторону, вторые — в разные, хотя и лежат на параллельных прямых. Представь стрелки на лучах или отметь их направления на схеме: так ошибка становится заметной.

Записывать равенство, проверив только одну пару. Одной сонаправленной пары недостаточно: вторая может быть противоположно направленной. Перед записью равенства отдельно установи направление обеих пар и сверь результат с таблицей.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны понятия луча, угла, параллельных прямых и равенства углов. Соотношение направлений помогает решать задачи на параллельные прямые и углы, а также доказывать равенство геометрических фигур. В задачах о параллельных прямых оно позволяет отличить равные углы от дополнительных: для этого учитывают не только параллельность, но и направление лучей.

Что запомнить

• Сонаправленные лучи лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.
• Стороны двух углов нужно сопоставлять попарно.
• Если обе пары соответствующих сторон сонаправлены, углы равны.
• Параллельность сторон без учёта их направления не определяет равенство углов.
• Перед применением утверждения проверь направление каждой пары соответствующих лучей.