7. Скрещивающиеся прямые

Определения и обозначения

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. Иначе говоря, не существует плоскости, содержащей обе прямые. Такое определение позволяет отличить скрещивание от параллельности: одного отсутствия общей точки для этого недостаточно.

Компланарные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости. В плоскости любые две прямые либо пересекаются, либо параллельны. Поэтому слово «компланарные» помогает сначала определить, есть ли общая плоскость, а затем уточнить, пересекаются ли прямые.

Взаимное расположение прямых в пространстве — один из трёх случаев: прямые пересекаются, параллельны или скрещиваются. Первые два случая возможны только для компланарных прямых, а третий означает, что общей плоскости нет. Эта классификация нужна, чтобы не переносить на пространство правила, которые верны только на плоскости.

Как это устроено

На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны, потому что обе уже принадлежат одной и той же плоскости. В пространстве прямые могут располагаться в разных плоскостях, и тогда ни пересечься, ни стать параллельными они не обязаны. Именно поэтому к двум плоским случаям добавляется третий — скрещивание.

Две непересекающиеся прямые не обязательно параллельны. Параллельность предполагает, что прямые лежат в одной плоскости и не имеют общей точки, а у скрещивающихся общей плоскости нет. Чтобы отличить эти случаи, нужно проверить не только пересечение, но и компланарность — принадлежность одной плоскости.

На модели многогранника можно начать с плоскости, содержащей одну из прямых. Например, в тетраэдре прямая AB лежит в плоскости ABC, а прямая CD пересекает эту плоскость в точке C. Так как C не принадлежит AB, прямые не могут лежать в одной плоскости: если бы такая плоскость существовала, пересечение плоскости ABC с ней совпало бы с AB и точка C должна была бы лежать на AB.

Признак скрещивающихся прямых формулируется так: если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются. Причина в том, что общая плоскость двух прямых должна была бы пересекать заданную плоскость по первой прямой. Тогда точка, где вторая прямая входит в заданную плоскость, оказалась бы на первой прямой, что противоречит условию.

Чтобы обосновать скрещивание без этого признака, проверьте два обстоятельства: прямые не пересекаются и не могут быть помещены в одну плоскость. Первое исключает пересекающиеся прямые, второе — параллельные, ведь параллельные прямые компланарны. Если оба условия доказаны, остаётся единственный случай — скрещивание.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверок: сначала выясните, есть ли общая точка, затем — лежат ли прямые в одной плоскости. Если общей точки нет, это ещё не определяет ответ: прямые могут быть параллельными или скрещивающимися. Проверка компланарности различает эти два случая.

Разбор задач

Прямые AB и CC₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁

Определим взаимное расположение прямых, учитывая, что рёбра куба можно продолжить до прямых. Удобно использовать плоскость ABC: она содержит AB и точку C. Вертикальное ребро CC₁ пересекает эту плоскость в C, причём C не лежит на AB.

1. Прямая AB лежит в плоскости ABC.
2. Прямая CC₁ пересекает плоскость ABC в точке C, которая не принадлежит AB.
3. По признаку скрещивающихся прямых AB и CC₁ скрещиваются.

Ответ: AB и CC₁ — скрещивающиеся прямые. Применённый признак сразу исключил возможность общей плоскости, а значит, и пересечения прямых.

Прямые AB и CD в тетраэдре ABCD

Нужно доказать, что противоположные рёбра тетраэдра AB и CD скрещиваются. Возьмём плоскость ABC: в ней лежит AB, а точка C принадлежит этой плоскости. При этом C не лежит на AB, так как A, B и C — вершины грани тетраэдра, не лежащие на одной прямой.

1. AB принадлежит плоскости ABC.
2. Прямая CD пересекает плоскость ABC в точке C.
3. Точка C не принадлежит AB, поэтому по признаку AB и CD скрещиваются.

Ответ: прямые AB и CD скрещиваются. В доказательстве не требуется отдельно искать расстояние между ними: достаточно применить признак с плоскостью.

Прямые AC и B₁D₁ в параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁

Сначала заметим, что AC лежит в плоскости основания ABCD, а B₁D₁ — в плоскости верхней грани A₁B₁C₁D₁. Эти грани параллельны и различны, поэтому прямые в них не пересекаются. Чтобы доказать скрещивание, остаётся показать, что прямые не параллельны: иначе они могли бы лежать в одной плоскости.

1. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются, следовательно, они не параллельны.
2. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны, поэтому B₁D₁ параллельна BD.
3. Значит, AC не параллельна B₁D₁. Прямые в разных параллельных плоскостях не могут быть компланарны, если не параллельны.

Ответ: AC и B₁D₁ скрещиваются. Здесь отсутствие пересечения следует из расположения в разных параллельных гранях, а отсутствие общей плоскости — из того, что прямые не параллельны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так рассуждают, перенося свойство плоских фигур на пространство, но скрещивающиеся прямые тоже не имеют общей точки. Проверьте себя: доказана ли общая плоскость для этих прямых? Если нет, вывод о параллельности делать нельзя.

Ошибка: объявлять прямые скрещивающимися сразу после того, как установлено, что они не пересекаются. Такое условие подходит и параллельным прямым, поэтому доказательства недостаточно. Проверьте, доказано ли отсутствие общей плоскости; без этого скрещивание не установлено.

Ошибка: считать достаточным, что одна прямая лежит в плоскости, а другая не лежит в ней. Вторая прямая может не принадлежать плоскости, но пересекать её как раз на первой прямой. Для признака скрещивания найдите точку пересечения второй прямой с плоскостью и убедитесь, что эта точка не принадлежит первой прямой.

Ошибка: путать пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух прямых. Точка может принадлежать плоскости, но не лежать на выбранной в ней прямой. Проверьте принадлежность точки обеим прямым: только тогда она будет их общей точкой.

Связь с другими темами

Для изучения скрещивающихся прямых нужно знать определения параллельных и пересекающихся прямых, а также признак параллельности прямой и плоскости. Тема продолжает разбор взаимного расположения прямых и плоскостей в стереометрии, то есть геометрии в пространстве. Эти понятия применяются в доказательствах и задачах о многогранниках. С их помощью описывают, например, какие рёбра куба не имеют общей точки и не принадлежат одной грани.

Что запомнить

• В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Скрещивающиеся прямые не пересекаются.
• Параллельные прямые всегда компланарны.
• Непересечение само по себе не доказывает скрещивание.
• Для доказательства скрещивания удобно применить признак с плоскостью.