§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку; они лежат в одной плоскости. В точке пересечения можно построить угол между ними и изучать его свойства. Это положение легко распознать, если прямые удаётся продолжить до общей точки. В пространстве такой признак нужно отличать от простого расположения линий на рисунке.

Параллельные прямые в пространстве — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся; запись: a ∥ b. Условие об общей плоскости обязательно: без него отсутствие пересечения ещё ничего не говорит о параллельности. Параллельность позволяет переносить прямую, сохраняя её направление, и сравнивать углы. Это обозначение используется так же, как при работе с прямыми на плоскости.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости; они не пересекаются и не являются параллельными. Такие прямые существуют только в пространстве: на плоскости любые две прямые либо пересекутся, либо будут параллельны. Понятие помогает правильно описывать, например, некоторые пары рёбер многогранника. Чтобы установить скрещивание, нужно проверить именно невозможность поместить обе прямые в одну плоскость.

Угол между двумя прямыми — меньший из углов, образованных пересекающимися прямыми, параллельными исходным и проведёнными через одну точку. Его величина лежит от 0° до 90° включительно. Так можно определить угол и для прямых, которые не пересекаются, в том числе для скрещивающихся. Выбор меньшего угла даёт единственное значение независимо от того, как изображены прямые.

Как это устроено

Для двух прямых в пространстве сначала выясняют, есть ли у них общая точка. Если она есть, прямые пересекаются, а через них можно провести единственную плоскость. Если общей точки нет, возможны два разных случая: прямые параллельны или скрещиваются. Различие определяется не рисунком и не расстоянием между линиями, а тем, можно ли расположить обе прямые в одной плоскости.

Критерий скрещивания удобно применять, когда одна прямая уже задана в плоскости. Пусть a лежит в плоскости α, а b пересекает α в точке P, которая не принадлежит a. Если бы a и b лежали в общей плоскости β, то точка пересечения плоскостей α и β содержала бы обе прямые: общая точка P должна была бы принадлежать a. Но P на a не лежит, значит, общей плоскости для прямых нет. Следовательно, a и b скрещиваются.

Чтобы определить угол между прямыми, через одну точку проводят две прямые, параллельные исходным. Они пересекаются, поэтому между ними можно измерить обычный плоский угол. Величина не зависит от того, какую точку выбрали: при переносе параллельных прямых их направления и угол между направлениями не меняются. Именно поэтому способ работает и тогда, когда сами исходные прямые не имеют общей точки.

Для скрещивающихся прямых одну из них мысленно переносят параллельно так, чтобы она пересекла другую. Затем находят угол в точке пересечения; на чертеже нужно показать, какая именно прямая проведена параллельно исходной. Из двух образовавшихся углов выбирают меньший. Если требуется вычисление по координатам или длинам, можно задать направляющие векторы u и v и использовать cos φ = |u · v| / (|u||v|).

Угол показывает, насколько различаются направления прямых, а не то, насколько близко они расположены в пространстве. Для параллельных прямых направления совпадают, поэтому угол равен 0°. Для перпендикулярных направлений он равен 90°, а во всех остальных случаях лежит между этими значениями. Так определение угла остаётся единым для пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых.

Взаимное расположение прямых и угол между ними

Сначала проверьте, пересекаются ли прямые, а если нет — лежат ли они в одной плоскости. Только после этого можно выбрать строку таблицы и определить положение прямых. Для скрещивающихся прямых угол находят не по их видимому изображению, а после параллельного переноса одной из них.

Разбор задач

Прямые AB и CC₁ в кубе

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определите взаимное расположение AB и CC₁. Нужно не ограничиваться тем, что на модели эти рёбра не соприкасаются: непересечение встречается и у параллельных прямых. Сначала сравним их направления, а затем проверим, могут ли они лежать в одной плоскости. Удобно воспользоваться плоскостью нижнего основания ABCD.

1. Прямая AB лежит в плоскости основания ABCD. Прямая CC₁ пересекает эту плоскость в точке C, поскольку C принадлежит основанию. Точка C не лежит на AB.

2. Значит, по критерию скрещивания AB и CC₁ не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются, а их направления различны: AB — ребро основания, CC₁ — вертикальное ребро куба. Следовательно, прямые скрещиваются.

Ответ: AB и CC₁ — скрещивающиеся прямые.

Угол между AC и A₁B₁

Найдём угол между диагональю основания AC и верхним ребром A₁B₁. Эти прямые не пересекаются, поэтому сначала заменим A₁B₁ параллельной прямой, проходящей через A. Перенесённая прямая совпадёт с AB, так как противоположные рёбра куба параллельны. Останется найти угол между AC и AB в квадрате основания.

1. Проведём через A прямую, параллельную A₁B₁. Направление этой прямой совпадает с направлением AB, поэтому нужный угол равен углу BAC. Это разрешено, поскольку параллельное перемещение сохраняет величину угла.

2. Основание ABCD — квадрат, а AC — его диагональ. Диагональ квадрата делит прямой угол при A пополам, поэтому ∠BAC = 45°. Берём меньший угол, как требует определение.

Ответ: 45°.

Угол с пространственной диагональю

У прямоугольного параллелепипеда три попарно перпендикулярных ребра длиной 3, 4 и 5. Найдём угол между прямой, параллельной пространственной диагонали, и прямой, параллельной ребру длины 4. Предполагается, что диагональ направлена по трём указанным рёбрам, а выбранное ребро длины 4 задаёт одну из координатных осей. Если неизвестно, вдоль какого ребра направлена вторая прямая, численный ответ определить нельзя.

1. Перенесём прямые параллельно так, чтобы они пересеклись. Направляющий вектор диагонали можно записать как d = (3, 4, 5), а направляющий вектор ребра длины 4 — как e = (0, 1, 0). Знак координат может зависеть от выбранного направления, поэтому для угла берём модуль скалярного произведения.

2. Вычислим d · e = 4, |d| = √(3² + 4² + 5²) = √50, |e| = 1. Тогда cos φ = |d · e| / (|d||e|) = 4/√50. Значит, φ = arccos(4/√50), приблизительно 55,6°.

Ответ: arccos(4/√50) ≈ 55,6°. Для вычисления нужны длины трёх взаимно перпендикулярных рёбер и указание, вдоль какого из них направлена прямая, параллельная ребру.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так рассуждают, перенося на пространство привычную картину плоскости, где другого варианта нет. В пространстве прямые могут быть скрещивающимися. Проверка: убедитесь, что они лежат в одной плоскости, прежде чем записывать a ∥ b.

Вторая ошибка — называть прямые скрещивающимися только потому, что у них нет общей точки. Этого признака недостаточно: параллельные прямые тоже не пересекаются. Скрещивание означает также отсутствие общей плоскости. Для самопроверки найдите аргумент, исключающий возможность расположить обе прямые в одной плоскости.

Третья ошибка — измерять угол между скрещивающимися прямыми непосредственно на рисунке. Изображение может быть выполнено с искажением, а сами прямые не имеют точки пересечения, в которой образуется угол. Сначала проведите параллельную замену одной прямой, затем измеряйте угол между пересекающимися прямыми. Проверьте, что на чертеже новая прямая действительно параллельна исходной.

Четвёртая ошибка — выбирать больший угол из пары углов. Это происходит, если ориентироваться только на видимый сектор чертежа, а не на определение. Углом между прямыми называют меньший угол, поэтому его величина не больше 90°. Перед записью ответа сравните выбранный угол с прямым.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости: по ним строят угол между пространственными прямыми и распознают частные случаи. Свойства параллельных прямых объясняют, почему перенос одной прямой не меняет угол. Позже эти идеи пригодятся при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей, углов между прямой и плоскостью, а также в задачах о многогранниках. Рёбра и диагонали многогранника дают наглядные примеры всех трёх положений прямых.

Что запомнить

• В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Непересечение прямых не доказывает их параллельность.
• Угол между прямыми находят, сведя его к углу между пересекающимися прямыми, параллельными исходным.
• Угол между прямыми принимают от 0° до 90°.