§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми

Определения и обозначения

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Обозначают это так: a ∥ b. Иными словами, параллельные прямые направлены одинаково и не имеют общей точки; понятие помогает узнавать в пространственных фигурах пары линий, которые сохраняют одно направление.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются, но этим не исчерпывается определение: именно отсутствие общей плоскости отличает скрещивание от параллельности. Это определение нужно, чтобы не переносить на пространство привычное из планиметрии правило «не пересекаются — значит, параллельны».

Углом между двумя пересекающимися прямыми называют меньший из углов, образованных этими прямыми. Поэтому его величина находится от 0° до 90° включительно. Для скрещивающихся прямых угол определяют через параллельные прямые: через точку одной проводят прямую, параллельную другой, и рассматривают меньший угол между получившимися пересекающимися прямыми.

Как это устроено

В пространстве две прямые могут не пересекаться по разным причинам. Если они имеют общее направление, через них можно провести одну плоскость, и тогда они параллельны; если общей плоскости нет, они скрещиваются. Поэтому проверка только на наличие общей точки не даёт полного ответа: нужно выяснить ещё и возможность расположить обе прямые в одной плоскости.

Для пересекающихся прямых общая плоскость существует сразу: две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость. Если прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то по свойству прямых на плоскости они параллельны. Так получают удобный способ классификации: сначала ищут пересечение, а при его отсутствии проверяют, являются ли прямые компланарными, то есть лежат ли в одной плоскости.

Параллельность в пространстве позволяет строить прямую нужного направления через выбранную точку. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная ей. Это свойство особенно полезно для скрещивающихся прямых: новая прямая пересечёт одну из них и сохранит направление другой, так что вместо сложного пространственного положения получится обычная пара пересекающихся прямых.

Определение угла между скрещивающимися прямыми работает именно благодаря такой замене. Пусть a и b скрещиваются, а точка A выбрана на a; через A проводят прямую b₁, параллельную b. Угол между a и b₁ и есть угол между a и b. Выбор другой точки на a не меняет величину: соответствующие прямые сохраняют направления, а значит, образуют равные углы.

Угол берут меньший, потому что две пересекающиеся прямые образуют четыре угла: противоположные равны, а соседние в сумме дают 180°. Следовательно, достаточно указать острый угол или прямой; тупой угол не считают углом между прямыми. Если прямые параллельны, направление у них одинаковое, поэтому угол между ними равен 0°.

Как различать прямые и находить угол

Пользуйся таблицей по двум признакам: сначала установи, пересекаются ли прямые, затем выясни, лежат ли они в одной плоскости. Отсутствие пересечения само по себе не доказывает скрещивание: общая плоскость означает параллельность. Если требуется угол для скрещивающихся прямых, сначала построй параллельную замену, а затем найди меньший угол.

Разбор задач

Задача. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ определите взаимное расположение прямых AB и CC₁ и найдите угол между ними. Рассмотрим куб как пространственную фигуру с квадратом ABCD в основании и квадратом A₁B₁C₁D₁ в верхнем основании. Нужно не судить по рисунку, а проверить плоскость и выбрать удобную параллельную прямую.

1. Прямые AB и CC₁ не имеют общей точки: AB лежит в нижнем основании, а CC₁ — вертикальное ребро через вершину C. Значит, они либо параллельны, либо скрещиваются.
2. Прямая CC₁ пересекает плоскость основания ABCD в точке C. Прямая AB также лежит в этой плоскости, но не проходит через C, поэтому CC₁ и AB не могут обе лежать в плоскости ABCD.
3. Проверим, существует ли другая общая плоскость. Плоскость, содержащая AB и точку C, — это плоскость ABC; в ней CC₁ не лежит, поскольку A, B, C не лежат на одной прямой, а вертикальное ребро выходит из основания. Следовательно, прямые скрещиваются.
4. Через точку C проведём прямую, параллельную AB. В квадрате основания CB ∥ AD, но удобнее через C провести линию направления AB; в кубе такой прямой служит CD, так как противоположные стороны квадрата параллельны. Угол между CC₁ и CD равен 90°, поскольку боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Ответ: AB и CC₁ — скрещивающиеся прямые; угол между ними равен 90°. В решении важно было не назвать их скрещивающимися только из-за отсутствия пересечения, а обосновать, что общей плоскости нет. Параллельная замена свела вычисление пространственного угла к углу между ребром основания и боковым ребром.

Типичные ошибки

• Считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Такую ошибку допускают, перенося в пространство свойства плоских чертежей; проверка: спроси, можно ли провести через обе прямые одну плоскость. Если нельзя, прямые скрещиваются.

• Называть прямые скрещивающимися, не проверив отсутствие общей плоскости. На рисунке линии могут казаться расположенными по-разному из-за перспективы; проверка: используй принадлежность точек плоскостям и свойства граней, а не только внешний вид изображения.

• Находить угол между скрещивающимися прямыми непосредственно, будто они пересекаются. В пространстве у таких прямых нет вершины угла; проверка: явно назови точку, через которую проведена прямая, параллельная одной из исходных.

• Записывать тупой угол как угол между прямыми. Это происходит, когда выбирают не меньшую пару углов при пересечении; проверка: сравни результат с 90° — угол между прямыми должен быть не больше этого значения.

Связь с другими темами

Положение прямых связано с понятием плоскости: две пересекающиеся прямые задают плоскость, а параллельность и скрещивание различают по возможности общей плоскости. Для распознавания этих случаев пригодны свойства граней многогранников и параллельных плоскостей. При поиске угла между скрещивающимися прямыми используются свойства параллельных прямых и углов, уже знакомые по планиметрии; таким образом, пространственная задача сводится к знакомой плоской.

Что запомнить

• Две прямые в пространстве пересекаются, параллельны или скрещиваются.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек; скрещивающиеся не лежат в одной плоскости.
• Отсутствие пересечения ещё не означает параллельность.
• Угол между скрещивающимися прямыми находят, проводя через точку одной прямой параллельную другой.
• Угол между прямыми — меньший из углов; он не превышает 90°.