§ 10. Параллельность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек. Например, если прямая a не пересекает плоскость α и не лежит в ней, записывают a ∥ α. Определение позволяет точно описать положение прямой в пространстве и отличить его от пересечения.

Если все точки прямой принадлежат плоскости, говорят, что прямая лежит в плоскости. Такая прямая имеет с плоскостью общие точки — все свои точки, поэтому параллельной этой плоскости не считается. Это различие нужно учитывать, когда выбирают, какое обозначение и какой признак применить.

Прямую a называют параллельной плоскости α, если в плоскости α найдётся прямая b, параллельная a, и сама a не лежит в α. Параллельность прямых обозначают a ∥ b, принадлежность прямой плоскости — b ⊂ α. Такое описание связывает пространственное положение прямой с уже знакомым свойством параллельных прямых.

Признак параллельности прямой и плоскости формулируется так: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости. В обозначениях это означает: если a ∥ b, b ⊂ α и a не лежит в α, то a ∥ α. Признак удобен для доказательств, потому что позволяет заменить проверку отсутствия всех общих точек поиском одной подходящей прямой.

Как это устроено

У прямой и плоскости в пространстве возможны три взаимных положения. Прямая может целиком лежать в плоскости, пересечь её в одной точке или не иметь с ней общих точек. Других вариантов нет: если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то вся прямая лежит в этой плоскости, поскольку через две точки проходит единственная прямая.

Почему признак требует, чтобы прямая не лежала в плоскости? Если убрать это условие, можно взять a и b параллельными прямыми, обе из которых лежат в α. Тогда a параллельна b и b принадлежит α, но a тоже принадлежит α, а не расположена вне плоскости. Условие отделяет нужный случай от принадлежности прямой плоскости.

Чтобы обосновать признак, предположим обратное: прямая a пересекает α в точке P. По условию внутри α есть прямая b, параллельная a. Если P не лежит на b, через P в плоскости можно провести прямую, параллельную b; она будет совпадать с a, ведь через P проходит единственная прямая, параллельная b. Тогда a окажется в α, вопреки условию, что она в α не лежит. Если же P лежит на b, то a и b пересекаются, что также противоречит их параллельности.

На чертеже сначала найдите прямую b, которая лежит именно в заданной плоскости и параллельна a. Затем отдельно проверьте, что a не принадлежит этой плоскости: это может следовать из условия задачи или из расположения точки a вне α. Только после обеих проверок можно применить признак. Один лишь похожий наклон линий на рисунке доказательством не является.

Определение тоже служит способом доказательства: чтобы показать a ∥ α, достаточно установить, что у a и α нет общих точек. На практике отсутствие пересечения часто доказывают не напрямую, а с помощью признака. Найденная в плоскости параллельная прямая и условие непринадлежности позволяют заключить, что общих точек нет.

Положения прямой относительно плоскости

Сначала определите по условиям задачи, сколько общих точек у прямой и плоскости, а затем выбирайте соответствующую строку. Последняя строка таблицы не описывает отдельное положение: это способ доказать, что прямая параллельна плоскости.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α лежит прямая b. Прямая a не лежит в α и параллельна b. Докажите, что a параллельна α.

1. Из условия b ⊂ α и a ∥ b. Значит, найдена прямая плоскости α, параллельная a.
2. Проверим второе условие признака: по условию a не лежит в α. Следовательно, случай принадлежности прямой плоскости исключён.
3. Оба условия признака выполнены, поэтому a ∥ α. Отдельно искать все возможные общие точки прямой и плоскости не требуется.

Ответ: a ∥ α по признаку параллельности прямой и плоскости.

Задача 2. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что ребро AA₁ параллельно плоскости BCC₁B₁.

1. В параллелепипеде боковые рёбра параллельны, поэтому AA₁ ∥ BB₁. Это свойство даёт нужное направление.
2. Ребро BB₁ лежит в плоскости BCC₁B₁, поскольку эта плоскость проходит через точки B и B₁. Значит, найденная прямая принадлежит требуемой плоскости.
3. Ребро AA₁ не лежит в плоскости BCC₁B₁: точка A не принадлежит этой грани. Применяем признак к AA₁ и BB₁.

Ответ: AA₁ ∥ плоскости BCC₁B₁.

Задача 3. В тетраэдре SABC точки M и N — середины рёбер SA и SB. Докажите, что MN параллельна плоскости ABC.

1. Рассмотрим треугольник SAB. Точки M и N — середины двух его сторон, поэтому по теореме о средней линии MN ∥ AB.
2. Прямая AB лежит в плоскости ABC. При этом MN не лежит в ABC: точки M и N находятся на рёбрах с вершиной S, а не на плоскости основания.
3. Есть прямая AB в плоскости ABC, параллельная MN, и MN не принадлежит этой плоскости. Значит, выполнены оба условия признака.

Ответ: MN ∥ плоскости ABC.

Типичные ошибки

Ошибка — считать лежащую в плоскости прямую параллельной этой плоскости. Так рассуждают, потому что в обычной речи «параллельно» часто означает просто «не пересекается», но здесь определение требует отсутствия общих точек. Проверьте себя: если у прямой и плоскости есть общие точки, параллельности по этому определению нет.

Нельзя применять признак, не проверив, что данная прямая не лежит в плоскости. Иначе под условия подходят прямые, целиком принадлежащие плоскости, и вывод о параллельности становится неверным. Перед заключением запишите отдельно оба условия: параллельность прямых и непринадлежность a плоскости α.

Недостаточно показать, что прямая не пересекает одну выбранную прямую в плоскости. Они могут быть скрещивающимися, а отсутствие общей точки само по себе не доказывает параллельности. Найдите именно прямую, параллельную данной, и обоснуйте это свойством или теоремой.

Параллельность прямой плоскости не следует путать с перпендикулярностью или параллельностью плоскостей. Это разные отношения: для них используются другие определения и условия. Проверяйте, какие именно объекты сравниваются в задаче — прямая с плоскостью, две прямые или две плоскости.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение параллельных прямых, их свойства и умение задавать плоскость, например тремя точками, не лежащими на одной прямой. Эти знания помогают находить в плоскости прямую, параллельную заданной, и доказывать её принадлежность плоскости. Далее признак применяется при исследовании рёбер и граней многогранников, а также при изучении взаимного расположения плоскостей.

Что запомнить

• Прямая параллельна плоскости, если не имеет с ней общих точек.
• Прямая, лежащая в плоскости, не считается параллельной ей.
• Если a ∥ α, то в α найдётся прямая, параллельная a.
• Если a ∥ b, b ⊂ α и a не лежит в α, то a ∥ α.
• Для применения признака нужны оба условия: параллельность прямых и непринадлежность данной прямой плоскости.