10.1. Классификация взаимного расположения прямой и

Определения и обозначения

Прямая лежит в плоскости, если каждая точка этой прямой принадлежит плоскости. Записывают a ⊂ α, где a — прямая, а α — плоскость. Такое обозначение удобно, когда нужно указать, что прямая целиком является частью плоскости, а не просто касается её в отдельных точках.

Прямая пересекает плоскость, если у них ровно одна общая точка. Если M — эта точка, пишут a ∩ α = {M}; её называют точкой пересечения. Это определение позволяет точно описать ситуацию, когда прямая проходит сквозь плоскость.

Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек. Обозначают a ∥ α. Такое положение нужно отличать от принадлежности: параллельная плоскости прямая не лежит в ней, даже если направление прямой совпадает с направлением некоторой прямой плоскости.

Как это устроено

Различить три положения можно, рассматривая общие точки прямой и плоскости. У прямой бесконечно много точек, поэтому если общих точек больше одной, то через две из них проходит единственная прямая. Эта прямая уже определена как лежащая в плоскости, а значит, вся она принадлежит плоскости.

Если общая точка ровно одна, прямая не может лежать в плоскости: тогда общими были бы все её точки. Она также не параллельна плоскости, потому что параллельность означает отсутствие общих точек. Поэтому остаётся случай пересечения в одной точке, и её называют точкой пересечения прямой с плоскостью.

Если общих точек нет, прямая параллельна плоскости по определению. Однако на практике не всегда удобно проверять отсутствие точек напрямую. Вместо этого ищут в плоскости прямую, параллельную исходной: совпадающие направления показывают, что исходная прямая не «уходит» к плоскости под углом.

Отсюда получается признак параллельности прямой и плоскости: если прямая не лежит в плоскости и параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости. Первое условие обязательно, потому что сама прямая, лежащая в плоскости, тоже параллельна каждой прямой плоскости, параллельной ей, но плоскости она не параллельна в принятом здесь смысле. Значит, для доказательства нужны и параллельные направления, и подтверждение, что исходная прямая не принадлежит плоскости.

Если прямая пересекает плоскость, то её направление не совпадает с направлением прямых, лежащих в этой плоскости. Поэтому при движении вдоль неё прямая приходит к единственной общей точке и проходит на другую сторону плоскости. Эта картина помогает представить, почему у пересечения не может быть двух разных точек: две такие точки заставили бы всю прямую лежать в плоскости.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Сначала установите число общих точек — это сразу определит нужный случай. Если напрямую это сделать трудно, проверьте, можно ли найти в плоскости прямую, параллельную данной, и доказать, что данная прямая в плоскости не лежит. Для положения «лежит» часто достаточно предъявить две различные общие точки.

Разбор задач

Задача. В плоскости α лежит прямая b. Прямая a параллельна b и не лежит в α. Определите взаимное расположение a и α. Нужно не ограничиваться совпадением направлений: отдельно проверить, подходит ли условие задачи под признак параллельности.

1. Выпишем сведения о расположении: b ⊂ α, a ∥ b, a ⊄ α. Первое означает, что прямая b целиком принадлежит плоскости.
2. Проверим, можно ли использовать b как вспомогательную прямую. Она лежит в α, а значит, это именно прямая плоскости, параллельная которой требуется для признака.
3. Сравним a и b: по условию a ∥ b. Следовательно, совпадают их направления; это удовлетворяет условию о параллельности исходной прямой и прямой плоскости.
4. Проверим второе условие: a не лежит в α. Значит, нельзя заключить, что a является частью плоскости; выполнено требование, исключающее этот отдельный случай.
5. Применим признак: прямая a параллельна прямой b плоскости α и не лежит в α. Поэтому a параллельна плоскости α.

Ответ: a ∥ α. Ход решения показывает, зачем даны оба условия: одной параллельности прямых недостаточно, а отсутствие принадлежности завершает применение признака. Если бы a лежала в α, ответ был бы другим, несмотря на параллельность a и b.

Типичные ошибки

• Смешивать параллельность с принадлежностью. Ученик видит, что прямая параллельна прямой плоскости, и сразу пишет a ∥ α. Так происходит, потому что направления кажутся достаточным доказательством. Проверьте, указано ли отдельно, что a не лежит в α.
• Считать, что две общие точки означают пересечение. Это неверно: если у прямой и плоскости есть две различные общие точки, через них проходит вся прямая, значит, она лежит в плоскости. Для самопроверки сравните число общих точек с определением пересечения: при пересечении точка только одна.
• Доказывать параллельность словами «не пересекает» без обоснования. Отсутствие общей точки может быть именно тем, что требуется доказать, а не исходным фактом. Найдите прямую плоскости, параллельную данной, и проверьте, что исходная прямая не принадлежит плоскости.

Связь с другими темами

Эта классификация опирается на аксиомы стереометрии о прямой и плоскости: через две точки проходит единственная прямая, а через три точки, не лежащие на одной прямой, — единственная плоскость. Поэтому две общие точки помогают доказать принадлежность прямой плоскости. Признак параллельности связывает взаимное расположение прямой и плоскости с параллельностью двух прямых. Эти рассуждения пригодятся при изучении параллельности плоскостей и построении сечений многогранников.

Что запомнить

• У прямой и плоскости возможны три положения: прямая лежит в плоскости, пересекает её или параллельна ей.
• Пересечение означает ровно одну общую точку; параллельность — отсутствие общих точек.
• Если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
• Если прямая параллельна прямой плоскости и не лежит в ней, то она параллельна плоскости.