10.2. Признак параллельности прямой и плоскости

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Иными словами, они имеют одно направление, но не имеют общих точек. Совпадающие прямые обычно не считают параллельными: у них общие все точки, а не отсутствуют общие точки. Это определение понадобится, чтобы находить параллельные прямые внутри граней пространственных фигур.

Прямая параллельна плоскости, если не имеет с ней общих точек. Если прямая целиком лежит в плоскости, параллельной этой плоскости её не называют. Это различие важно: принадлежность плоскости и отсутствие общих точек — разные ситуации. Именно отсутствие общих точек требуется доказать в задаче на параллельность.

Признак параллельности прямой и плоскости — теорема: если прямая не лежит в плоскости и параллельна прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости. Первая прямая в условии — исследуемая, а вторая служит вспомогательной. Признак нужен, когда напрямую показать отсутствие общих точек трудно, но в фигуре легко найти пару параллельных прямых.

Общие точки прямой и плоскости — точки, принадлежащие одновременно и прямой, и плоскости; их множество называют пересечением. Оно может состоять из одной точки, быть пустым или включать всю прямую, если она лежит в плоскости. Такое перечисление помогает отличать пересечение от принадлежности и от параллельности. В пространстве для прямой и плоскости других вариантов нет.

Как это устроено

У прямой и плоскости есть три возможных взаимных положения. Если у прямой с плоскостью две общие точки, то вся прямая лежит в плоскости: через две точки можно провести только одну прямую, и она уже принадлежит этой плоскости. Если общая точка ровно одна, говорят, что прямая пересекает плоскость. Если общих точек нет, прямая параллельна плоскости.

В признаке отдельно оговорено, что исследуемая прямая не лежит в плоскости. Без этого условия рассуждение не даёт нужного вывода: прямая может лежать в плоскости и при этом быть параллельной другой прямой в ней. Но лежащая в плоскости прямая имеет с ней общие точки, поэтому по определению не параллельна ей. Условие исключает именно такой случай.

Предположим, прямая a не лежит в плоскости α, но параллельна прямой b, лежащей в α. Если бы a пересекала α в точке P, эта точка принадлежала бы плоскости, содержащей параллельные прямые a и b. В этой плоскости прямая b также лежит в α, поэтому P оказалась бы общей точкой a и b. Это противоречит тому, что параллельные прямые не пересекаются; значит, у a нет общих точек с α.

В задаче о пространственной фигуре сначала ищут прямую, которая заведомо лежит в нужной плоскости. Затем доказывают, что она параллельна исследуемой прямой, например по свойству параллелограмма или средней линии треугольника. Отдельно проверяют, что исследуемая прямая в плоскости не лежит. Лишь после этих шагов можно сослаться на признак.

Признак даёт достаточное условие: если его предпосылки выполнены, параллельность плоскости доказана. Он не утверждает, что параллельная плоскости прямая параллельна каждой прямой, лежащей в ней. Вспомогательную прямую выбирают специально, и достаточно найти одну подходящую. Другие прямые той же плоскости могут иметь с исследуемой разные направления.

Взаимное положение прямой и плоскости и применение признака

Используйте таблицу как проверочный план: установите, какой случай рассматривается, и затем проверьте указанные условия. Сам вывод о параллельности по признаку допустим только при выполнении обеих частей условия. Принадлежность вспомогательной прямой плоскости и непринадлежность исследуемой прямой обосновывайте отдельно.

Разбор задач

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что AB параллельна плоскости CDD₁C₁. Грань ABCD — квадрат, поэтому противоположные рёбра AB и CD параллельны. Ребро CD лежит в плоскости CDD₁C₁, а AB не принадлежит этой грани. Значит, выполнены оба условия признака.

1. Выбираем в плоскости CDD₁C₁ прямую CD.
2. По свойству квадрата ABCD получаем AB ∥ CD.
3. Ребро AB не лежит в грани CDD₁C₁, поскольку оно не является ребром или точкой этой грани.
4. По признаку заключаем, что AB ∥ плоскости CDD₁C₁.

Ответ: AB ∥ плоскости CDD₁C₁.

Задача 2. В тетраэдре ABCD точки M и N — середины AB и AC. Нужно доказать, что MN параллельна плоскости BCD. Точки M и N лежат в грани ABC, а по теореме о средней линии треугольника MN ∥ BC. Ребро BC принадлежит плоскости BCD, но сама MN в этой плоскости не лежит: она принадлежит плоскости ABC, а плоскости ABC и BCD пересекаются по BC, с которым MN параллельна и не совпадает.

1. Рассматриваем треугольник ABC, в котором M и N — середины двух сторон.
2. По теореме о средней линии получаем MN ∥ BC.
3. Прямая BC лежит в плоскости BCD. При этом MN не лежит в BCD: иначе она совпала бы с линией пересечения ABC и BCD, то есть с BC, что невозможно, поскольку MN ∥ BC и MN не совпадает с BC.
4. Применяем признак и получаем MN ∥ плоскости BCD.

Ответ: MN ∥ плоскости BCD.

Задача 3. В условии сказано, что прямая через середины AB и A₁D₁ параллельна плоскости BCC₁B₁ в параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁. Однако это утверждение неверно, поэтому доказать его для произвольного параллелепипеда нельзя. Проверим на кубе с координатами A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), D(0, 1, 0), A₁(0, 0, 1). Тогда плоскость BCC₁B₁ имеет уравнение x = 1.

1. Середина AB имеет координаты M(½, 0, 0).
2. Середина A₁D₁ имеет координаты N(0, ½, 1).
3. На прямой MN координата x меняется от ½ до 0 и принимает значение 1 лишь вне отрезка, но на всей прямой при параметре t она равна ½ − t; при t = −½ получаем x = 1.
4. Значит, прямая пересекает плоскость x = 1 и не параллельна ей. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка; без исправленного условия заявленный вывод неверен.

Ответ: утверждение задачи 3 неверно: в кубе прямая пересекает плоскость BCC₁B₁.

Типичные ошибки

Не проверяют, что прямая не лежит в плоскости. Иногда достаточно замечают параллельность двух прямых и сразу применяют признак. Так происходит потому, что условие кажется второстепенным, хотя оно исключает принадлежность плоскости. Для самопроверки установите, имеет ли исследуемая прямая общие точки с плоскостью; при принадлежности признак применить нельзя.

Выбирают параллельную прямую не в той плоскости. Параллельность сама по себе не подходит, если вспомогательная прямая не принадлежит плоскости, которую нужно исследовать. Ошибка часто возникает, когда ориентируются только на рисунок и не проверяют расположение прямой. Подтвердите принадлежность: например, укажите, что это ребро нужной грани или прямая через две точки этой плоскости.

Считают, что отсутствие заметного пересечения на чертеже доказывает параллельность. Пространственный рисунок изображает фигуру на плоскости, поэтому настоящие направления и пересечения на нём могут быть неочевидны. Чертёж помогает выдвинуть предположение, но не заменяет доказательство. Проверьте вывод по признаку или другим теоремам.

Полагают, что прямая параллельна любой прямой плоскости. Это смешивает параллельность прямой плоскости с параллельностью отдельных прямых в ней. В плоскости можно провести прямые разных направлений, и исследуемая прямая не обязана быть параллельна каждой из них. Найдите одну подходящую прямую и проверьте обе предпосылки признака.

Связь с другими темами

Для применения признака нужно знать, когда прямые в пространстве параллельны, и различать пересечение прямой с плоскостью и принадлежность ей. В задачах часто помогают знакомые свойства параллелограмма, граней многогранника и теорема о средней линии треугольника. Сначала с их помощью находят нужную пару параллельных прямых, а затем применяют пространственный признак. Он, в свою очередь, пригодится при доказательстве параллельности плоскостей и решении задач о взаимном положении прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек.
• Прямая, лежащая в плоскости, не считается параллельной этой плоскости.
• Для признака нужна прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная исследуемой.
• Исследуемая прямая при применении признака не должна лежать в плоскости.
• Если обе части условия выполнены, прямая параллельна плоскости.
• Рисунок помогает найти вспомогательную прямую, но не заменяет доказательство.