10.3. Второй признак параллельности плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — это плоскости, которые не пересекаются. Их обычно обозначают так: α ∥ β. Такое определение нужно, чтобы описывать взаимное положение плоскостей и доказывать, что у них нет общих точек.

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Запись a ∥ b показывает, что прямые имеют одно направление, даже если находятся на разном расстоянии друг от друга. Это понятие используется для сравнения прямых, лежащих в разных частях чертежа.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие одну общую точку. Если прямые a и b пересекаются, пишут a ∩ b ≠ ∅. Такое условие важно, потому что две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость.

Второй признак параллельности плоскостей утверждает: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Он позволяет заменить сложное рассуждение о плоскостях проверкой двух пар прямых.

Как это устроено

Сформулируем признак точно. Пусть прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются, а прямые a₁ и b₁ лежат в плоскости β, причём a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Тогда α ∥ β. Смысл признака в том, что плоскости имеют одинаковые направления по двум пересекающимся линиям.

Именно две пересекающиеся прямые нужны потому, что одна прямая задаёт только одно направление. Через неё можно провести множество различных плоскостей, поэтому по одной параллельной прямой нельзя определить положение всей плоскости. Две пересекающиеся прямые фиксируют уже два направления и тем самым «проверяют» плоскость в двух направлениях.

Докажем признак от противного. Предположим, что плоскости α и β всё-таки пересекаются, и обозначим их линию пересечения c. Прямая a параллельна a₁, лежащей в β, поэтому при таком расположении она не может пересекать c и должна быть параллельна c; аналогично b должна быть параллельна c.

Получается противоречие: a и b обе параллельны одной прямой c, значит, они должны иметь одно направление и не пересекаться. Но по условию a и b пересекаются. Следовательно, предположение о пересечении α и β неверно, поэтому плоскости параллельны.

Соответствие прямых в условии нельзя менять произвольно. Нужно установить именно пары a ∥ a₁ и b ∥ b₁, а не просто знать, что какие-то две прямые параллельны каким-то двум другим. Каждая прямая первой плоскости должна иметь свою параллельную прямую во второй плоскости.

Условия и вывод второго признака параллельности плоскостей

Пользуясь таблицей, проверяйте условия по порядку, не пропуская взаимное расположение прямых. Особенно внимательно сопоставляйте пары: первая прямая должна быть параллельна первой, а вторая — второй. Только после полной проверки можно сделать вывод о параллельности плоскостей.

Разбор задач

Задача 1

В плоскости α прямые a и b пересекаются. В плоскости β лежат прямые a₁ и b₁, причём a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Определим взаимное расположение α и β.

1. Прямые a и b находятся в одной плоскости α и пересекаются.
2. Прямые a₁ и b₁ находятся в плоскости β.
3. Установлены две соответствующие пары параллельных прямых: a ∥ a₁ и b ∥ b₁.
4. Все условия второго признака выполнены, поэтому α ∥ β.

Ответ: плоскости α и β параллельны.

Задача 2

В плоскости α прямые a и b пересекаются. В плоскости β проведена только одна прямая a₁, параллельная a. Можно ли заключить, что α ∥ β?

1. Из условия известна только одна пара параллельных прямых: a ∥ a₁.
2. Для второго признака нужна ещё прямая b₁ в плоскости β, такая чтобы b ∥ b₁.
3. Таких сведений нет, поэтому проверить все условия признака невозможно.

Ответ: заключить, что α ∥ β, нельзя. Одной пары параллельных прямых недостаточно.

Задача 3

В плоскостях α и β лежат пары прямых a, b и a₁, b₁. Известно, что a и b пересекаются, a ∥ a₁, b ∥ b₁. Докажем α ∥ β от противного.

1. Предположим, что α и β пересекаются. Пусть c — их линия пересечения.
2. Так как a ∥ a₁, а a₁ лежит в β, прямая a при пересечении плоскостей должна быть параллельна c. Аналогично b ∥ c.
3. Тогда a и b имеют одно направление и не могут пересекаться.
4. Это противоречит условию a ∩ b ≠ ∅. Значит, плоскости не пересекаются и α ∥ β.

Ответ: α ∥ β.

Типичные ошибки

Делают вывод о параллельности плоскостей по одной паре параллельных прямых. Так происходит потому, что ученик переносит знакомое свойство прямых на плоскости. Проверьте, указана ли в условии вторая пара параллельных прямых.

Не проверяют, что две прямые в одной плоскости пересекаются. Без этого они могут задавать недостаточно информации о плоскости, и признак не работает. Перед выводом найдите точку пересечения первой пары.

Путают соответствие прямых и сопоставляют не те пары. Параллельность должна быть установлена отдельно для каждой пары, а не в неопределённом порядке. Запишите связи символами: a ∥ a₁ и b ∥ b₁.

Считают, что прямые из разных плоскостей обязаны пересекаться или лежать в одной плоскости. В условии достаточно того, что каждая пара соответствующих прямых параллельна. Сначала проверяйте именно требования признака, а не придумывайте дополнительные условия.

Связь с другими темами

До изучения признака нужно знать определения параллельных прямых и плоскостей, а также свойства взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Эти знания помогают понимать, почему линия пересечения плоскостей играет важную роль в доказательстве.

Признак пригодится при доказательстве параллельности плоскостей и решении задач на взаимное расположение прямых и плоскостей. Он также учит переводить пространственную задачу на язык более простых отношений между прямыми.

Что запомнить

• Для применения признака нужны две прямые в одной плоскости.
• Эти прямые должны пересекаться.
• Каждая из них должна быть параллельна прямой другой плоскости.
• При выполнении условий плоскости параллельны.
• Одна пара параллельных прямых не позволяет сделать такой вывод.