"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Параллельными называют прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются; совпадающие прямые к ним не относят. В пространстве этого условия нельзя заменить одним лишь отсутствием точки пересечения: прямые могут оказаться скрещивающимися. Главный результат темы — если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Это свойство помогает доказывать параллельность без прямой проверки расположения каждой пары.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Совпадающие прямые параллельными не называют: у них общими являются все точки, а не отсутствуют точки пересечения. Определение помогает отличить параллельные прямые от скрещивающихся в пространстве.
Параллельность прямых — отношение между двумя прямыми, которое записывают так: a ∥ b. Это обозначение означает, что a и b не пересекаются и находятся в одной плоскости. Для прямых в пространстве важно проверить именно оба условия: отсутствие пересечения само по себе ещё не доказывает параллельность.
Три параллельные прямые — это три различные прямые, каждая пара которых параллельна. Краткая запись a ∥ b ∥ c показывает, что прямые параллельны попарно. Такая запись позволяет увидеть связь сразу между тремя прямыми и применить теорему о параллельности трёх прямых.
На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве вариантов больше: прямые могут не пересекаться и при этом не лежать в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися. Поэтому в пространстве слово «параллельные» нельзя применять к любой паре, у которой не нашлось общей точки: нужно также установить, что обе прямые находятся в одной плоскости.
Пусть a ∥ c и b ∥ c. По определению a и c лежат в некоторой плоскости, а b и c — тоже в некоторой плоскости. Эти плоскости содержат одну и ту же прямую c, но этого недостаточно для вывода, что они совпадают. Решающее свойство состоит в том, что через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Оно и связывает обе прямые a и b в одной плоскости.
Предположим, что a и b пересекаются в точке P. Так как a ∥ c, точка P не лежит на c; иначе a пересекала бы c. Через P проходят две прямые a и b, и обе параллельны c. Но через точку вне данной прямой можно провести только одну параллельную ей прямую. Получается противоречие, значит, a и b не пересекаются.
Из рассуждения следует теорема о параллельности трёх прямых: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. В принятой записи: если a ∥ c и b ∥ c, то a ∥ b. Вывод включает оба свойства параллельных прямых: a и b не пересекаются и лежат в одной плоскости. Значит, речь идёт именно о параллельности, а не только об отсутствии общей точки.
Теорема удобна тем, что не требует отдельно искать плоскость, содержащую a и b, и проверять их на пересечение. Достаточно доказать, что каждая из этих прямых параллельна одной и той же прямой c. После этого параллельность a и b следует из теоремы. Такое рассуждение особенно полезно в задачах, где прямые заданы через рёбра или стороны пространственной фигуры.
| Дано | Что можно заключить | Почему |
|---|---|---|
| a ∥ c и b ∥ c | a ∥ b | Теорема о параллельности трех прямых |
| a и b не пересекаются, но не установлено, что они лежат в одной плоскости | Нельзя сразу заключать, что a ∥ b | В пространстве такие прямые могут быть скрещивающимися |
Пользуйся таблицей, сначала выделив данные задачи: указана ли общая параллельная прямая или только отсутствие пересечения. В первом случае можно применить теорему, во втором данных для вывода о параллельности недостаточно. Такая проверка помогает не путать параллельные и скрещивающиеся прямые.
Задача 1. Прямые a и b параллельны прямой c. Докажите, что a и b параллельны. В условии сразу даны два отношения с одной общей прямой, поэтому подходит теорема о параллельности трёх прямых. Нужно не доказывать результат заново, а точно указать, как теорема применяется.
Ответ: a ∥ b.
Задача 2. Прямая a параллельна b, а b параллельна c. Определите взаимное расположение a и c. Здесь общая прямая — b, а параллельность обеих остальных прямых этой прямой дана. Применим теорему, учитывая, что параллельными называют различные прямые.
Ответ: прямые a и c параллельны.
Задача 3. В пространстве даны прямые a, b и c. Известно, что a и b не пересекаются, а b ∥ c. Можно ли утверждать, что a ∥ c? По условию нельзя заменить «a не пересекается с b» на «a ∥ b»: не установлено, что эти прямые лежат в одной плоскости. Поэтому теорему о параллельности трёх прямых применить пока нельзя.
Ответ: утверждать, что a ∥ c, нельзя; данных недостаточно.
Ошибка: считать любые две непересекающиеся прямые параллельными. Так делают, перенося привычное правило с плоскости на пространство, где возможны скрещивающиеся прямые. Проверь, установлена ли общая плоскость; если нет, параллельность не доказана.
Ошибка: называть совпадающие прямые параллельными. Их могут смешивать с прямыми, которые не пересекаются, хотя у совпадающих прямых общих точек бесконечно много. Сверься с определением: параллельные прямые не пересекаются и различны.
Ошибка: применять теорему, когда известно только, что две прямые не пересекаются. Для теоремы нужно доказать, что обе прямые параллельны одной и той же третьей. Проверь, есть ли в данных задачи оба таких отношения, например a ∥ c и b ∥ c.
Ошибка: делать вывод о параллельности третьей прямой по одному известному отношению между двумя прямыми. Теорема работает лишь при двух условиях: каждая из рассматриваемых прямых параллельна общей прямой. Перед выводом выпиши эти условия; если одного не хватает, заключение не обосновано.
Для изучения темы нужно знать определение параллельных прямых на плоскости и различать пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые в пространстве. Доказательство опирается на единственность прямой, параллельной данной и проведённой через точку вне неё. Теорема о параллельности трёх прямых пригодится в дальнейших задачах о прямых в пространстве. Она также помогает изучать параллельность прямой и плоскости, когда нужное направление устанавливают через параллельные прямые.
Чем параллельные прямые в пространстве отличаются от скрещивающихся?
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Скрещивающиеся прямые не пересекаются, но общей плоскости у них нет.
Почему двух непересекающихся прямых недостаточно, чтобы назвать их параллельными?
В пространстве прямые могут не иметь общей точки и при этом не лежать в одной плоскости. Такие прямые называют скрещивающимися, поэтому нужно проверить оба условия определения.
Что означает запись a ∥ b ∥ c?
Так обычно кратко указывают, что прямые a, b и c параллельны попарно. В частности, каждая из них параллельна двум другим, а все три лежат в одной плоскости.
Как доказать, что две прямые параллельны, если они обе параллельны третьей?
Нужно установить, что a ∥ c и b ∥ c, а затем применить теорему о параллельности трёх прямых. По ней a ∥ b; отдельно доказывать, что a и b лежат в одной плоскости, не требуется.
Считаются ли совпадающие прямые параллельными?
Нет, по принятому определению параллельные прямые не пересекаются и не совпадают. Совпадающие прямые имеют все точки общими, поэтому это не параллельные, а одна и та же прямая.
1.2. Параллельность трех прямых
