7. Параллельные прямые в пространстве

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Запись a ∥ b читают: «прямая a параллельна прямой b». Условие об одной плоскости особенно важно именно в пространстве: оно отделяет параллельные прямые от скрещивающихся.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Например, в кубе две прямые, содержащие рёбра с разными направлениями и не имеющие общей вершины, могут оказаться скрещивающимися. Это понятие нужно, чтобы описывать непересекающиеся прямые, которые не являются параллельными.

Компланарные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости. Если две прямые компланарны, то они либо пересекаются, либо параллельны; если они совпадают, это отдельный случай, который учитывают по условию задачи. Проверка компланарности помогает выбрать правильный вывод о взаимном расположении прямых.

Как это устроено

На плоскости две различные прямые, которые не пересекаются, параллельны. В пространстве такого рассуждения недостаточно: прямые могут находиться в разных плоскостях и не иметь общей точки. Например, в кубе ребро нижнего основания и ребро боковой грани могут не пересекаться, но не лежать в одной плоскости. Поэтому определение параллельности включает два условия: общую плоскость и отсутствие общих точек.

Чтобы проверить, параллельны ли две прямые, сначала нужно установить, что они компланарны. Это можно сделать, указав плоскость, содержащую обе прямые, или доказав, что они лежат в ней по условию и свойствам фигуры. Затем проверяют, что прямые не пересекаются и не совпадают, если рассматриваются именно две различные прямые. Только совокупность этих сведений позволяет применить определение параллельности.

Если две различные прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Обе имеют одно направление; через одну из них и точку второй можно провести плоскость, содержащую обе прямые. В этой плоскости они не пересекаются: пересечение означало бы, что через общую точку проходят две прямые одного направления, то есть они совпадают. Для различных прямых это невозможно, поэтому они параллельны.

При доказательстве параллельности удобно искать общую плоскость: например, плоскость грани многогранника или плоскость, заданную пересекающимися прямыми. Если такую плоскость установить трудно, можно связать рассматриваемые прямые с третьей: доказать, что обе параллельны ей, а затем применить свойство параллельных прямых. В любом случае нужно пояснить, почему выбранный признак применим.

Чтобы распознать взаимное расположение прямых в пространственной фигуре, действуй последовательно. Сначала проверь, имеют ли они общую точку: если имеют, прямые пересекаются или совпадают. Если общих точек нет, выясни, можно ли поместить обе прямые в одну плоскость; при положительном ответе они параллельны, а при отрицательном — скрещиваются. Такой порядок не позволяет принять отсутствие пересечения за доказательство параллельности.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пользуйся таблицей по двум признакам: наличию общих точек и общей плоскости. Если точки общие, прямые пересекаются; если их нет, решающим становится вопрос о компланарности. Так можно классифицировать прямые, не полагаясь только на вид рисунка.

Разбор задач

Задача 1. В кубе назови пары параллельных прямых среди прямых, содержащих его рёбра. Обозначим куб ABCDA₁B₁C₁D₁, где ABCD и A₁B₁C₁D₁ — основания. Сопоставим рёбра одинакового направления и проверим, что выбранные прямые можно поместить в общую плоскость.

1. Например, рёбра AB и DC противоположны в основании ABCD. Они лежат в плоскости этого основания и не пересекаются, значит, AB ∥ DC.
2. Рёбра AA₁ и BB₁ лежат в плоскости грани ABB₁A₁ и не имеют общих точек, поэтому AA₁ ∥ BB₁.
3. Аналогично можно выбрать пары BC и AD, A₁B₁ и D₁C₁, а также другие противоположные рёбра одной грани. Для каждой пары важны и одинаковое направление, и общая плоскость.

Ответ: параллельны, например, AB и DC, AA₁ и BB₁, BC и AD; полный набор получается проверкой противоположных рёбер каждой грани.

Задача 2. Прямые AB и CD на рисунке пространственной фигуры не пересекаются. Можно ли сразу заключить, что AB ∥ CD? Нет: видимый промежуток между линиями подтверждает только отсутствие пересечения, а прямые могут быть скрещивающимися. Нужно отдельно проверить наличие общей плоскости.

1. Найди плоскость, которая содержит AB и CD, или обоснуй, что обе прямые принадлежат одной грани либо другой известной плоскости.
2. Если общая плоскость установлена, используй отсутствие общих точек: по определению прямые параллельны.
3. Если общей плоскости нет, прямые скрещиваются. Если данных о плоскости недостаточно, однозначный вывод сделать нельзя — понадобятся сведения о фигуре или её свойства.

Ответ: одного факта, что AB и CD не пересекаются, недостаточно; нужно доказать их компланарность.

Задача 3. Две различные прямые a и b каждая параллельна прямой c; при этом a и b не совпадают с c. Докажи, что a ∥ b. Здесь полезно связать прямые через общую направляющую c, а не пытаться вывести их параллельность только из отсутствия пересечения.

1. Поскольку a ∥ c, прямые a и c лежат в некоторой плоскости и имеют одно направление.
2. Прямая b также параллельна c, поэтому имеет то же направление. Через прямую a и точку, лежащую на b, можно провести плоскость, содержащую a и b: направление обеих прямых одинаково.
3. Различные прямые одного направления в этой плоскости не пересекаются. Следовательно, a и b компланарны и не имеют общих точек, то есть параллельны.

Ответ: a ∥ b по свойству двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Типичные ошибки

Считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так рассуждают по привычке к планиметрии, где для двух различных прямых в одной плоскости это верно. В пространстве можно пропустить случай скрещивания. Проверь себя: прежде чем писать знак ∥, укажи плоскость, содержащую обе прямые.

Делать вывод по изображению. На чертеже скрещивающиеся прямые могут выглядеть параллельными, а параллельные — иметь разное видимое направление из-за проекции. Ошибка возникает, когда рисунок принимают за доказательство пространственного свойства. Проверь, следует ли компланарность из условия или из свойств фигуры.

Забывать условие общей плоскости. Если указать только, что прямые не пересекаются, определение параллельности применено не полностью. Это часто происходит из-за смешения геометрии на плоскости и в пространстве. В проверке решения найди оба основания вывода: прямые компланарны и не имеют общих точек.

Применять свойство «параллельные одной прямой» без проверки условий. Оно относится к прямым и требует, чтобы сравниваемые прямые были различными; совпадающие объекты нельзя называть параллельными по этому свойству. Уточни, что именно дано в задаче и что требуется доказать. Затем объясни общую плоскость и отсутствие пересечения, а не ограничивайся ссылкой на похожие направления.

Связь с другими темами

Для работы с параллельными прямыми нужны понятия плоскости, способы её задания и признаки принадлежности точки или прямой плоскости. Также используются свойства параллельных прямых, изученные в планиметрии, но в пространстве к ним добавляется проверка компланарности. Эта тема подготавливает изучение параллельности прямой и плоскости. Понятие скрещивающихся прямых помогает разбирать рёбра многогранников и решать задачи на сечения.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые в пространстве могут быть скрещивающимися.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Если две различные прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны.
• Для доказательства параллельности сначала установи компланарность прямых.