8. Признак параллельности прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, сколько бы далеко их ни продолжали. Если прямые обозначены a и b, пишут a ∥ b. Это обозначение сообщает об их взаимном расположении и позволяет применять свойства или признаки параллельности.

Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. При этом на каждом пересечении возникают четыре угла, а всего можно составить пары углов, расположенных у двух точек пересечения. Именно положение таких пар и их величины помогают выяснить, параллельны ли исходные прямые.

Соответственные углы находятся при разных пересечениях секущей и занимают одинаковое положение относительно секущей и каждой из двух прямых. Например, оба могут быть расположены над секущей и справа от пересекаемой прямой. Чтобы не перепутать пару, сравнивай положение углов у обоих пересечений, а не только их названия.

Внутренние углы лежат в полосе между двумя прямыми. Внутренние накрест лежащие находятся по разные стороны секущей, а внутренние односторонние — по одну сторону от неё. Эти названия помогают выбрать нужную пару для признака: накрест лежащие углы сравнивают на равенство, а односторонние — на сумму 180°.

Как это устроено

Когда секущая пересекает две прямые, она задаёт направление, относительно которого можно сравнить обе прямые. Если сами прямые не параллельны, их направления различаются, и соответствующие углы при пересечениях обычно имеют разные величины. Поэтому равенство определённых пар углов становится способом проверить, совпадают ли направления прямых.

Если соответственные углы равны, то при переносе положения секущей от одного пересечения к другому направление второй прямой не меняется относительно первой. Иначе углы в одинаковом положении оказались бы разными. Значит, прямые не могут пересечься: если бы они встретились, вместе с секущей образовался бы треугольник, а его внешний угол не мог бы быть равен несмежному внутреннему углу так, как требуется равенством соответственных углов. Следовательно, прямые параллельны.

Равенство внутренних накрест лежащих углов тоже приводит к параллельности. Чтобы увидеть связь с предыдущим условием, рассмотрим угол, смежный с одним из накрест лежащих: вместе они составляют 180°. Вертикальный угол к этому смежному равен ему, поэтому из равенства накрест лежащих углов следует равенство соответствующей пары соответственных углов. А равенство соответственных углов уже служит признаком параллельности.

Для внутренних односторонних углов условие другое: их сумма должна составлять 180°. Пусть один из них равен α, а второй — β, тогда α + β = 180°. Угол, смежный с β, тоже дополняет β до 180°, поэтому он равен α. Этот смежный угол и α образуют пару внутренних накрест лежащих углов; их равенство позволяет заключить, что прямые параллельны.

Итак, признак параллельности можно сформулировать через три вида пар: равные соответственные углы, равные внутренние накрест лежащие углы или внутренние односторонние углы с суммой 180°. Каждое условие самостоятельно приводит к одному выводу — прямые параллельны. Не нужно одновременно проверять все три: достаточно доказать любое одно из них.

Условия, достаточные для параллельности прямых

Сначала определи положение данной пары углов, затем выбери соответствующую строку таблицы. Проверь, выполнено ли указанное условие: равенство или сумма 180°. Если оно выполнено, можно записать вывод о параллельности прямых.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересечены секущей. Соответственные углы равны 68°. Определить, параллельны ли прямые.

1. По условию дана именно пара соответственных углов, а их равенство уже указано.
2. Сопоставляем данные с признаком: равные соответственные углы означают, что прямые параллельны.
3. Записываем вывод, не вычисляя остальные углы: для решения они не нужны.

Ответ: прямые параллельны.

Задача 2. Внутренние накрест лежащие углы равны 3x + 10° и 5x − 30°. Найти x и установить взаимное расположение прямых.

1. Для накрест лежащих углов признак требует равенства, поэтому приравниваем выражения: 3x + 10 = 5x − 30.
2. Переносим слагаемые: 40 = 2x, значит, x = 20.
3. Проверяем углы: 3 · 20 + 10 = 70°, а 5 · 20 − 30 = 70°. Они равны, следовательно, по признаку прямые параллельны.

Ответ: x = 20; прямые параллельны.

Задача 3. Внутренние односторонние углы равны 2x + 15° и 3x − 5°. Найти x и доказать, что прямые параллельны.

1. Для односторонних углов нужно не равенство, а сумма 180°, поэтому составляем уравнение: (2x + 15) + (3x − 5) = 180.
2. Упрощаем: 5x + 10 = 180, откуда 5x = 170 и x = 34.
3. При этом углы равны 83° и 97°; их сумма составляет 180°. Значит, по признаку прямые параллельны.

Ответ: x = 34; прямые параллельны.

Типичные ошибки

Соответственные и накрест лежащие углы иногда путают, потому что обе пары включают углы при разных пересечениях. Ошибка возникает, если смотреть только на расположение относительно одной прямой. Проверь положение каждого угла сразу относительно секущей и обеих прямых: соответственные стоят одинаково, а внутренние накрест лежащие находятся между прямыми по разные стороны секущей.

Равенство внутренних односторонних углов не доказывает параллельность. Здесь часто переносят условие для накрест лежащих углов на другую пару, хотя у односторонних признак опирается на сумму 180°. Для самопроверки сложи величины углов; равенство само по себе нужную сумму не гарантирует.

При использовании признака по односторонним углам можно забыть проверить, что их сумма равна 180°. Такая ошибка появляется, когда ученик видит подходящее название пары и сразу записывает вывод. Сначала составь равенство суммы и проверь его по вычислениям, а уже затем заключай о параллельности.

Признак и свойство параллельных прямых решают разные задачи. Признаком доказывают параллельность по известным углам, а свойство применяют после того, как параллельность уже установлена. Перед рассуждением спроси себя, что дано: если параллельность ещё нужно доказать, ссылайся на признак, а не на свойство.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно распознавать виды углов, возникающих при пересечении прямых секущей, а также знать свойства смежных и вертикальных углов. Смежные углы в сумме дают 180°, а вертикальные углы равны; эти факты объясняют переходы между условиями признака. Позже признаки пригодятся в геометрических доказательствах и задачах на углы и треугольники: через найденную параллельность можно установить новые равенства углов.

Что запомнить

• Равные соответственные углы означают, что прямые параллельны.
• Равные внутренние накрест лежащие углы означают, что прямые параллельны.
• Сумма внутренних односторонних углов 180° означает, что прямые параллельны.
• Для применения признака нужно правильно определить пару углов.
• Достаточно выполнить одно из условий признака.
• Признак доказывает параллельность, а не просто описывает уже параллельные прямые.