§ 2. Параллельность прямых и плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Записывают a ∥ b. Условие об одной плоскости принципиально: оно отличает параллельные прямые от скрещивающихся и помогает правильно классифицировать их взаимное положение.

Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек. Обозначение: a ∥ α. Такая прямая не пересекает плоскость и не лежит в ней; это определение позволяет отличить параллельность от случая, когда прямая целиком принадлежит плоскости.

Параллельные плоскости — две плоскости, не имеющие общих точек. Их параллельность записывают α ∥ β. Определение удобно, когда нужно описать взаимное положение целых плоскостей, а не только отдельных прямых, проведённых в них.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. В отличие от параллельных, они не имеют общей плоскости. Это понятие нужно, чтобы объяснить, почему в пространстве одних только непересекающихся прямых недостаточно для вывода о параллельности.

Как это устроено

На плоскости две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны, а в пространстве появляется ещё один вариант — скрещивание. Если прямые не пересекаются, они могут идти в разных плоскостях и потому не иметь общей плоскости. Чтобы назвать их параллельными, сначала установите, что обе прямые лежат в одной плоскости. Иначе непересечение не доказывает нужного отношения.

Для проверки параллельности прямой и плоскости ищут в плоскости прямую, параллельную данной. Если a параллельна b, а b лежит в α, то направление a согласовано с направлением прямой внутри плоскости. Однако этого ещё недостаточно: a может сама лежать в α. Поэтому отдельно проверяют, что a не содержится в α; тогда она не пересекает плоскость и параллельна ей.

Чтобы доказать параллельность двух плоскостей, одной пары параллельных прямых мало: такие прямые могут быть проведены в пересекающихся плоскостях. Возьмите в каждой плоскости по две пересекающиеся прямые. Если прямые первой плоскости попарно параллельны соответствующим прямым второй, то направления двух пересекающихся линий совпадают в обеих плоскостях. По признаку параллельности плоскостей сами плоскости параллельны.

Параллельные плоскости не могут иметь общую точку. Действительно, если бы точка принадлежала обеим плоскостям, то через неё проходила бы их общая прямая, поскольку две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой. Это противоречит определению параллельных плоскостей, у которых общих точек нет.

Пусть третья плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей. Она не может пройти через одну плоскость и не пересечь вторую: иначе вторая была бы параллельна третьей, а значит, имела бы то же направление, что и первая, что противоречит факту пересечения первой плоскостью. Линии пересечения лежат в третьей плоскости и не пересекаются, ведь точка пересечения принадлежала бы обеим исходным плоскостям. Следовательно, эти линии параллельны.

Параллельность объектов в пространстве

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала определите, какие объекты сравниваются, затем проверьте все условия для этой пары. Если применяете признак, не пропускайте его дополнительные требования — например, пересечение прямых внутри каждой плоскости.

Разбор задач

Задача 1. Даны две прямые в пространстве. По условию нужно установить, параллельны ли они или скрещиваются. Чтобы выбрать вариант, важно проверить не только наличие общих точек, но и возможность провести через обе прямые одну плоскость. Именно это отличает два случая.

1. Сначала выясним, лежат ли прямые в одной плоскости. Если условие задачи или построение даёт общую плоскость, переходим к проверке пересечения. Если общей плоскости нет, прямые скрещиваются.

2. Если прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, они параллельны. Если же они пересекаются, то не относятся ни к параллельным, ни к скрещивающимся прямым.

3. Итак, одного факта «не пересекаются» недостаточно: сначала проверяем компланарность, а затем — отсутствие общей точки. Такой порядок исключает ошибочный вывод о параллельности.

Ответ: прямые параллельны, если они компланарны и не пересекаются; если общей плоскости нет, они скрещиваются.

Задача 2. В плоскости α проведена прямая b, параллельная прямой a, причём a не лежит в α. Докажем, что a ∥ α. В условии уже дана связь направлений прямых, поэтому осталось проверить, что выполнено второе необходимое условие признака.

1. Имеем b ⊂ α и a ∥ b. Значит, в плоскости α найдена прямая, параллельная a.

2. По условию a не содержится в α. Прямая, параллельная прямой плоскости, либо лежит в этой плоскости, либо не пересекает её; первый случай исключён условием.

3. Следовательно, a не имеет общих точек с α. По признаку параллельности прямой и плоскости получаем a ∥ α.

Ответ: a ∥ α.

Задача 3. В двух плоскостях заданы по две пересекающиеся прямые, причём соответствующие прямые попарно параллельны. Докажем параллельность плоскостей, а затем определим, как расположены линии их пересечения с третьей плоскостью. Обозначим прямые первой плоскости a и b, второй — a₁ и b₁, а плоскости — α и β.

1. По условию a и b пересекаются в α, а a₁ и b₁ пересекаются в β. Также a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Значит, выполнены все условия признака параллельности плоскостей.

2. Применяя признак, заключаем, что α ∥ β. Теперь рассмотрим третью плоскость γ, которая пересекает α; по свойству параллельных плоскостей она пересекает и β.

3. Обозначим линии пересечения через l = α ∩ γ и m = β ∩ γ. Они лежат в γ и не пересекаются, поскольку общая точка принадлежала бы сразу α и β. Поэтому l ∥ m.

Ответ: α ∥ β, а линии пересечения α и β с γ параллельны.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Её допускают, перенося правило с плоскости на пространство и забывая о скрещивающихся прямых. Проверьте, можно ли провести через обе прямые одну плоскость; если нельзя, они скрещиваются.

Ошибка — объявлять прямую параллельной плоскости, не проверив, что прямая в ней не лежит. Так происходит, когда замечают параллельную прямую внутри плоскости, но забывают о втором условии. Для самопроверки установите, что исходная прямая не содержится в плоскости и не имеет с ней общих точек.

Ошибка — доказывать параллельность плоскостей по одной паре параллельных прямых. Такие прямые могут находиться даже в пересекающихся плоскостях, поэтому вывод не следует из условия. Проверьте наличие двух пар соответствующих параллельных прямых и то, что прямые в каждой плоскости пересекаются.

Ошибка — считать, что параллельность отдельных прямых автоматически задаёт положение плоскостей. Можно подобрать параллельные прямые и в пересекающихся плоскостях, поэтому одного направления недостаточно. Для вывода о плоскостях используйте полный признак: по две пересекающиеся прямые в каждой и параллельность соответствующих пар.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия прямой, плоскости и пересечения геометрических фигур, а также знакомое из планиметрии определение параллельных прямых. В стереометрии к ним добавляются новые варианты взаимного положения, в частности скрещивание. Аксиомы стереометрии помогают обосновывать существование плоскостей и линий пересечения, а признаки параллельности — доказывать отношения между объектами. Эти знания пригодятся при построении сечений многогранников, выполнении чертежей и нахождении расстояний в пространстве.

Что запомнить

• Параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые в пространстве могут быть скрещивающимися.
• Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой этой плоскости и не лежит в ней.
• Для признака параллельности плоскостей нужны две пересекающиеся прямые в каждой плоскости.
• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью параллельны.