6. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства

Определения и обозначения

Полупространство — одна из двух частей пространства, на которые плоскость разделяет все точки, не лежащие в ней. Например, плоскость α имеет два полупространства, расположенных по разные стороны от α. Это понятие позволяет описывать положение точек и фигур относительно плоскости.

Точки по одну сторону плоскости — это точки, отрезок между которыми не пересекает данную плоскость. Такие точки находятся в одном полупространстве. По этому признаку можно определить их взаимное расположение, даже если чертёж недостаточно нагляден.

Точки по разные стороны плоскости — это точки, отрезок между которыми пересекает плоскость. Значит, при движении по отрезку от одной точки к другой приходится перейти через плоскость. Этот признак показывает, что точки принадлежат разным полупространствам.

Как это устроено

Плоскость отделяет от себя все точки, которые ей не принадлежат, потому что при переходе из одной части пространства в другую нужно пересечь границу. Такой границей и служит сама плоскость. Поэтому по разные стороны от неё образуются ровно две части, называемые полупространствами.

Для двух точек, не лежащих в плоскости, сначала мысленно соединяют их отрезком. Отрезок — кратчайший путь между точками, поэтому он показывает, можно ли попасть от одной точки к другой, не пересекая границу. Если такой путь не встречает плоскость, обе точки остаются в одной части пространства.

Если соединяющий отрезок пересекает плоскость, точки находятся по разные стороны. Действительно, отрезок начинается в одной части пространства, затем проходит через границу и заканчивается в другой. Поэтому пересечение отрезка с плоскостью является удобным геометрическим признаком разных полупространств.

Принадлежность точки плоскости и расположение по одну сторону — не одно и то же. Точка, лежащая на плоскости, находится на границе и не входит ни в одно полупространство. Поэтому правило «по одну или по разные стороны» применяют к точкам, которые не лежат в рассматриваемой плоскости.

Нужно отдельно учитывать случаи, когда отрезок пересекает плоскость в одной точке или один из его концов лежит в плоскости. Пересечение в одной внутренней точке означает, что концы находятся по разные стороны. Если же концом отрезка является точка плоскости, она остаётся граничной точкой и не получает принадлежности к полупространству.

Расположение двух точек относительно плоскости

Сначала проверьте, лежат ли обе точки вне плоскости. Затем рассмотрите именно отрезок между ними и найдите, есть ли у него общая точка с плоскостью. По первой или второй строке таблицы можно сделать вывод о полупространствах, а третий случай требует особой оговорки.

Разбор задач

Задача 1

Точки A и B не лежат в плоскости α. Отрезок AB не пересекает α. Определите, по одну или по разные стороны плоскости расположены точки.

1. Проверяем условие: обе точки находятся вне плоскости α, поэтому к ним можно применять определение полупространств.
2. Соединяющий точки отрезок AB не имеет общих точек с плоскостью α.
3. По определению точки, отрезок между которыми не пересекает плоскость, лежат по одну сторону от неё.

Ответ: точки A и B расположены по одну сторону плоскости α и находятся в одном полупространстве. Основанием ответа является отсутствие пересечения отрезка AB с плоскостью.

Задача 2

Точки C и D не лежат в плоскости β, причём отрезок CD пересекает β. Установите, в каких полупространствах находятся точки.

1. Обе точки C и D не принадлежат плоскости β, значит, каждая из них находится в одном из двух полупространств.
2. Отрезок CD пересекает плоскость β, то есть при переходе от C к D отрезок проходит через границу частей пространства.
3. Следовательно, один конец отрезка находится по одну сторону β, а другой — по другую.

Ответ: точки C и D лежат по разные стороны плоскости β, поэтому находятся в разных полупространствах. Само место пересечения отрезка с плоскостью является границей между ними.

Задача 3

Плоскость α пересекает треугольник ABC по отрезку, проходящему через его внутренность. Определите, какие вершины находятся по разные стороны α, и обоснуйте ответ. Линия пересечения входит в треугольник через одну сторону и выходит через другую.

1. Концы отрезка пересечения лежат на двух сторонах треугольника, поэтому эти стороны разделены плоскостью α.
2. Вершины, соединённые стороной, через которую плоскость входит или выходит, оказываются по разные стороны плоскости.
3. Третья вершина находится по ту же сторону, что и одна из вершин каждой пересечённой стороны; иначе плоскость пересекала бы ещё одну сторону.

Ответ: по разные стороны α находятся концы той стороны треугольника, которую пересекает отрезок плоскости, и соответствующая вершина на другой пересечённой стороне. Иными словами, из трёх вершин одна находится по одну сторону, а две другие — по другую, либо наоборот. Точный выбор определяется тем, какие две стороны пересекает отрезок α.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что точка, лежащая в плоскости, принадлежит одному из полупространств. Её допускают, потому что в обычном рисунке границу иногда мысленно относят к одной из частей. Проверьте себя: полупространства содержат только точки, не лежащие в разделяющей плоскости.

Ошибка — определять стороны плоскости только по рисунку, не исследуя отрезок между точками. Так происходит из-за условности пространственного изображения: видимая «верхняя» и «нижняя» части не всегда соответствуют реальному расположению. Всегда проверяйте, пересекает ли соединяющий отрезок плоскость.

Ошибка — путать пересечение плоскости отрезком с пересечением прямой, содержащей этот отрезок. Прямая может встретить плоскость за пределами отрезка, и это не меняет положения его концов относительно данной границы. Для проверки рассматривайте только участок между точками.

Ошибка — считать, что любые две точки по одну сторону соединяются отрезком, проходящим через плоскость. Такое утверждение противоречит определению: если отрезок пересёк плоскость, точки находятся по разные стороны. Сверяйте вывод с простым правилом «нет пересечения — одна сторона, есть пересечение — разные стороны».

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны базовые представления о точке, прямой, отрезке и плоскости, а также умение устанавливать пересечение геометрических фигур. Особенно важно различать прямую и её часть — отрезок, поскольку вывод о сторонах делают по отрезку.

Полупространства используются в доказательствах о расположении точек, отрезков и других фигур относительно плоскости. Позже это понятие помогает изучать многогранники: их грани лежат в плоскостях и разделяют пространство на различные области.

Что запомнить

• Плоскость делит пространство на два полупространства.
• Полупространства не включают разделяющую их плоскость.
• Точки одного полупространства соединяются отрезком, не пересекающим плоскость.
• Если отрезок между точками пересекает плоскость, точки лежат по разные стороны.
• При проверке расположения точек рассматривают отрезок между ними.