5. Замечание к аксиоме I

Определения и обозначения

Общая точка двух прямых — это точка, принадлежащая обеим прямым. Например, запись A ∈ a и A ∈ b означает, что точка A лежит и на прямой a, и на прямой b. Так обозначают и проверяют наличие общих точек, не смешивая принадлежность одной прямой с принадлежностью другой. Понятие нужно, чтобы описывать взаимное расположение прямых через число точек, которые у них общие.

Совпадающие прямые — прямые, у которых общими являются все точки. Иначе говоря, если две прямые совпадают, любая точка одной из них принадлежит и другой. На чертеже их можно изобразить одной линией, но при рассуждении всё равно можно называть их разными буквами. Это определение отличает совпадение от пересечения в одной точке.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой пересечения прямых. Например, если A — единственная точка, принадлежащая прямым a и b, то говорят, что a и b пересекаются в точке A. Уточнение «ровно одну» существенно: совпадающие прямые имеют не одну, а все свои точки общими.

Как это устроено

Аксиома I утверждает: через любые две точки проходит одна и только одна прямая. Это означает, что для двух заданных точек нельзя построить две разные прямые, каждая из которых проходит через обе точки. Слова «одна и только одна» объединяют два требования: такая прямая существует, и другой прямой через эту пару точек быть не может. Именно часть об единственности позволяет делать вывод о совпадении прямых.

Предположим, что прямые a и b имеют две общие точки A и B. Поскольку A и B принадлежат обеим прямым, и a, и b проходят через одну и ту же пару точек. Здесь важно назвать именно две общие точки: одной точки для применения аксиомы недостаточно. Значит, условия аксиомы относятся сразу к обеим прямым.

По аксиоме I через A и B проходит только одна прямая. Если бы a и b были разными, через эту пару точек проходили бы две прямые, что противоречит аксиоме. Поэтому a и b — одна и та же прямая, то есть они совпадают. Вывод получен не из внешнего вида чертежа, а из правила о единственности прямой через две точки.

Отсюда следует: две различные прямые не могут иметь более одной общей точки. Действительно, если бы у них нашлись две общие точки, они совпали бы, а это противоречит условию, что прямые различны. Следствие ограничивает возможное число общих точек у разных прямых: оно равно нулю или единице. Так можно обосновать, что у двух различных пересекающихся прямых точка пересечения единственна.

Следствие помогает различать два случая, которые на рисунке иногда выглядят похоже. Если известна одна общая точка, прямые могут быть различными и пересекаться в ней, но могут и совпадать: сама эта информация не решает вопрос. Если же установлены две общие точки, совпадение уже доказано. Поэтому при доказательстве важно выяснить число общих точек и не делать выводов по одному только чертежу.

Взаимное расположение двух прямых по числу общих точек

Сначала установите число общих точек, а затем сопоставьте его с таблицей. Для одной точки учитывайте, известно ли, что прямые различны: без этого совпадение исключить нельзя. Две или более общие точки сразу позволяют применить аксиому I и заключить, что прямые совпадают.

Разбор задач

Задача 1. Прямые a и b проходят через точки A и B. Что можно заключить о прямых?

1. Из условия следует, что точка A принадлежит обеим прямым, и точка B также принадлежит обеим прямым. Сначала проверяем, что речь идёт о двух точках, а не об одной: именно это требуется для применения аксиомы I. Значит, a и b проходят через одну пару точек A и B.

2. По аксиоме I через две точки проходит только одна прямая. Следовательно, не могут существовать две разные прямые, проходящие одновременно через A и B. Поэтому прямые a и b совпадают.

Ответ: прямые a и b совпадают.

Задача 2. Прямые a и b имеют общие точки A и B. Докажите, что a и b совпадают.

1. Запишем условие через принадлежность: A ∈ a, A ∈ b, B ∈ a и B ∈ b. Это показывает, что обе прямые проходят через одни и те же две точки. Если не установить общность именно обеих точек, ссылка на аксиому I не будет обоснована.

2. По аксиоме I существует единственная прямая, проходящая через A и B. Поэтому a и b не могут быть двумя различными прямыми, каждая из которых проходит через эту пару. Они являются одной и той же прямой, то есть совпадают.

Ответ: a и b совпадают.

Задача 3. Три различные прямые попарно имеют общие точки. Докажите, что все три проходят через одну точку.

1. Обозначим прямые a, b и c, а их попарные общие точки — P для a и b, Q для a и c, R для b и c. Нужно доказать, что P, Q и R — одна точка. Предположим противное: какие-то две из этих точек различны; например, P ≠ Q.

2. Точки P и Q принадлежат прямой a, а также P принадлежит b и Q принадлежит c. Рассмотрим прямые b и c: по условию они имеют общую точку R, но чтобы получить противоречие при P ≠ Q, сопоставим общие точки пары a, b и a, c осторожно: если P ≠ Q, прямые a и b не обязаны иметь две общие точки. Вместо этого используем попарные пересечения: если P, Q, R различны, условие само по себе не исключает трёх сторон треугольника. Поэтому утверждение требует дополнительных условий и в общем виде неверно.

Ответ: при данных условиях утверждение неверно: три различные прямые могут попарно пересекаться в трёх разных точках. Например, это стороны треугольника, продолженные до прямых. Чтобы все три проходили через одну точку, нужно дополнительное условие.

Типичные ошибки

• Ошибка — утверждать, что любые две прямые имеют ровно одну общую точку. Так могут рассуждать, представляя только пересечение на рисунке, но прямые также могут не иметь общих точек или совпадать. Проверка: перечислите возможное число общих точек — ноль, одна или все точки при совпадении.

• Ошибка — считать две общие точки признаком пересечения. Пересечение означает ровно одну общую точку, а две общие точки по аксиоме I заставляют прямые совпасть. Проверка: прежде чем назвать точку точкой пересечения, убедитесь, что она единственная.

• Ошибка — делать вывод о совпадении по одной общей точке. Одну точку могут иметь и пересекающиеся прямые, а совпадающие прямые тоже содержат эту точку. Проверка: для вывода о совпадении найдите две общие точки или другое достаточное основание.

• Ошибка — сослаться на аксиому I, не указав, что обе прямые проходят через одну и ту же пару точек. Обычно пропускают этот шаг, считая его очевидным, но без него непонятно, почему аксиома применима к обеим прямым. Проверка: назовите две точки и покажите, что каждая принадлежит обеим прямым.

Связь с другими темами

Перед изучением замечания нужно знать формулировку аксиомы I и понимать, что значит принадлежность точки прямой. Записи A ∈ a и A ∈ b показывают, что точка A лежит на обеих прямых; так удобно точно описывать условие задачи. Полученное следствие пригодится в доказательствах о взаимном расположении прямых и единственности прямой через две точки. Оно также помогает обосновывать единственность точки пересечения двух различных прямых.

Что запомнить

• Через любые две точки проходит ровно одна прямая.
• Если две прямые имеют две общие точки, они совпадают.
• Две различные прямые имеют не более одной общей точки.
• Одна общая точка не позволяет заключить, что прямые совпадают.
• Совпадающие прямые имеют общими все свои точки.