4. Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Определения и обозначения

Плоскость — бесконечная плоская поверхность, рассматриваемая как геометрическая фигура. Её обозначают одной греческой буквой, например α, или тремя заглавными буквами, например плоскость ABC. Во втором случае точки A, B и C должны быть неколлинеарными, иначе такая запись не задаёт единственную плоскость.

Коллинеарные точки — точки, лежащие на одной прямой. Для трёх точек это означает, что все они принадлежат общей прямой, даже если некоторые точки совпадают. Понятие помогает проверить, можно ли определить плоскость по этим точкам однозначно.

Неколлинеарные точки — точки, не лежащие на одной прямой. Если две из них различны, прямая через эту пару не проходит через третью точку. Именно третья точка вне прямой позволяет получить единственную плоскость, а не только прямую.

Копланарные точки — точки, лежащие в одной плоскости. Три неколлинеарные точки всегда копланарны, поскольку сами задают плоскость. В задачах этот термин используют, чтобы описать принадлежность нескольких точек одной плоскости.

Как это устроено

Возьмём три неколлинеарные точки A, B и C. Через A и B проходит единственная прямая, а точка C на ней не лежит. Прямая вместе с точкой вне неё задаёт положение плоскости: если менять плоскость, сохраняя прямую AB, точка C не сможет оставаться в каждой из таких плоскостей. Поэтому три точки определяют одну плоскость.

Утверждение формулируют так: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Слово «проходит» выражает существование: такая плоскость есть. Слова «только одна» выражают единственность: другой плоскости, содержащей все три точки, не найдётся. Оба вывода относятся к одному и тому же условию — неколлинеарности.

Условие важно потому, что любые две различные точки дают лишь прямую. Чтобы определить плоскость, нужно понять, как она расположена вокруг этой прямой; третья точка вне прямой фиксирует такое расположение. Если третья точка лежит на прямой, новой информации о положении плоскости не появляется. Поэтому нельзя утверждать единственность без проверки, что точка находится вне прямой через две другие.

Если три различные точки коллинеарны, все они лежат на одной прямой. Через эту прямую можно провести разные плоскости, и каждая будет содержать все три точки. Значит, существование плоскости сохраняется, но единственности нет. То же относится к случаю, когда среди трёх точек есть совпадающие: они не дают трёх точек, задающих плоскость однозначно.

В доказательстве сначала выбирают три точки, которые не лежат на одной прямой. По утверждению через них проходит единственная плоскость. Затем проверяют, принадлежит ли этой плоскости нужная точка или другие точки. Если принадлежность дана в условии или доказана, можно заключить, что все выбранные точки копланарны. Без проверки первого условия ссылаться на утверждение нельзя.

Расположение трёх точек и определяемая ими плоскость

Сначала установи, различны ли точки, а затем проверь, лежат ли они на одной прямой. Таблица показывает, что единственность появляется только при неколлинеарности трёх точек. При совпадении точек плоскостей тоже не одна: оставшиеся данные не фиксируют её положение.

Разбор задач

Задача 1. Даны три неколлинеарные точки A, B и C. Сколько плоскостей проходит через них? Здесь условие уже содержит главное: точки не лежат на одной прямой. Нужно применить утверждение о плоскости, а не искать несколько вариантов её расположения.

1. Проверяем данное условие: A, B и C неколлинеарны. Поэтому эти точки подходят для применения утверждения.

2. По утверждению через любые три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Значит, плоскость существует и второй такой плоскости нет.

Ответ: одна плоскость.

Задача 2. Точки A, B и C различны и лежат на одной прямой. Обязательно ли через них проходит только одна плоскость? Точки здесь не задают разные направления в пространстве: вся информация о них сводится к одной прямой. Поэтому нужно выяснить, фиксирует ли прямая единственную плоскость.

1. Так как точки различны и коллинеарны, все три лежат на прямой ABC. Любая плоскость, проходящая через эту прямую, содержит и точки A, B, C.

2. Через одну прямую можно провести разные плоскости. Следовательно, все эти плоскости проходят через данные точки, и единственности нет.

Ответ: нет, через точки проходит более одной плоскости.

Задача 3. Докажите, что точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, если A, B и C неколлинеарны, а D принадлежит плоскости ABC. Нужно показать принадлежность одной плоскости для всех четырёх точек. Условие о трёх точках позволяет сначала определить нужную плоскость.

1. Точки A, B и C неколлинеарны, поэтому через них проходит единственная плоскость. Обозначим её ABC.

2. По условию точка D принадлежит плоскости ABC. Точки A, B и C тоже принадлежат ей по определению этой плоскости.

3. Таким образом, одна и та же плоскость содержит каждую из четырёх точек. Это и означает, что точки A, B, C и D копланарны.

Ответ: все четыре точки лежат в плоскости ABC.

Типичные ошибки

Ошибка — утверждать, что любые три точки определяют единственную плоскость. Так делают, перенося правило о трёх точках без проверки их расположения. При коллинеарности через точки проходит много плоскостей. Проверь, есть ли точка вне прямой через две другие.

Иногда доказывают лишь существование плоскости и считают, что этого достаточно для единственности. Это разные утверждения: плоскость может существовать не в единственном экземпляре. Сверь вывод с формулировкой: для неколлинеарных точек нужно обосновать и существование, и то, что плоскость только одна.

Неверно считать, что две точки определяют плоскость. Через них однозначно проходит прямая, но сама прямая содержится в разных плоскостях. Чтобы проверить себя, спроси, задано ли положение плоскости или пока известна только прямая.

Ещё одна ошибка — применить утверждение, не проверив неколлинеарность точек. Условие задачи может не сообщать её прямо, поэтому приходится установить расположение точек отдельно. Перед выводом о единственной плоскости выясни, лежат ли они на одной прямой; если это не доказано, вывод не обоснован.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно знать, что через две различные точки проходит единственная прямая, и отличать прямую от плоскости. Прямая определяется парой точек, тогда как для единственного определения плоскости нужна ещё одна точка вне этой прямой. Это различие помогает правильно читать условия и не смешивать геометрические объекты.

Утверждение используют, когда доказывают копланарность точек, строят сечения и исследуют взаимное расположение прямых и плоскостей. В подобных задачах сначала находят три неколлинеарные точки, чтобы задать плоскость, а затем устанавливают принадлежность ей остальных объектов. Так утверждение становится инструментом доказательства, а не только правилом для запоминания.

Что запомнить

• Три неколлинеарные точки принадлежат одной плоскости.
• Через три неколлинеарные точки проходит только одна плоскость.
• Две точки задают прямую, а не единственную плоскость.
• Через три различные коллинеарные точки проходит более одной плоскости.
• Перед применением утверждения проверь неколлинеарность точек.