3. Пересечение прямой с плоскостью

Определения и обозначения

Пересечение прямой и плоскости — это множество их общих точек; таких точек может не быть, быть одна или быть бесконечно много. Иными словами, проверяют, какие точки одновременно принадлежат обоим объектам. Это понятие позволяет точно описать взаимное расположение прямой и плоскости, а не полагаться на то, как они выглядят на рисунке.

Прямая пересекает плоскость, если у них ровно одна общая точка; её называют точкой пересечения. Например, если прямая проходит через плоскость и не лежит в ней, место встречи обозначают общей точкой прямой и плоскости. Такое определение нужно, чтобы отличать пересечение от случая, когда прямая целиком содержится в плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек. Значит, прямая не пересекает плоскость и не лежит в ней. Это определение помогает не смешивать два разных положения: отсутствие общей точки и принадлежность плоскости всех точек прямой.

Прямая лежит в плоскости, если каждая её точка принадлежит этой плоскости. Тогда общих точек бесконечно много, ведь сама прямая состоит из бесконечного числа точек. Это положение удобно устанавливать по двум точкам прямой, принадлежащим плоскости.

Как это устроено

Три случая возникают потому, что прямая бесконечна и плоскость тоже бесконечна, но их общая часть может быть разной. Если прямая целиком проходит в плоскости, все её точки общие. Если прямая не лежит в плоскости, она может встретить её в одной точке или вовсе не встретить. Поэтому возможны ровно три варианта: бесконечно много, одна или ни одной общей точки.

Чтобы доказать, что прямая лежит в плоскости, достаточно найти на ней две различные точки, принадлежащие плоскости. Через две точки проходит единственная прямая, и если обе точки находятся в плоскости, то и проходящая через них прямая принадлежит ей. Одна общая точка такого вывода не даёт: через неё прямая может выйти из плоскости. Этот критерий особенно полезен, когда точки можно определить по рёбрам и граням фигуры.

Точку пересечения устанавливают не по внешнему виду, а по принадлежности. Сначала называют предполагаемую общую точку, затем проверяют отдельно, что она лежит на заданной прямой и в заданной плоскости. Например, если точка является вершиной на прямой, это подтверждает первое условие; если та же вершина принадлежит грани, она принадлежит и плоскости этой грани. Только после обеих проверок точку можно назвать точкой пересечения.

Если плоскость задана треугольником, построение часто начинают со вспомогательной плоскости — дополнительной плоскости, которую проводят через заданную прямую. Вспомогательная плоскость пересекает плоскость треугольника по прямой, а эта линия помогает найти искомое место встречи. Затем пересекают найденную линию с заданной прямой. Такой способ работает, потому что искомая точка должна принадлежать и прямой, и плоскости треугольника; при этом нужно убедиться, что построенная линия действительно лежит в исходной плоскости.

На чертеже пространственные объекты изображены на плоскости листа, поэтому видимое пересечение линий не всегда означает реальное пересечение в пространстве. Одни линии могут быть изображениями объектов, расположенных на разных уровнях, а пунктир обычно показывает скрытые части фигуры, но сам по себе не доказывает взаимное положение. Следует учитывать обозначения и данные задачи, а затем обосновывать общую точку через принадлежность прямой и плоскости. Если доказательства нет, по одному рисунку вывод делать нельзя.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Сначала определите число общих точек, а затем выберите строку таблицы. Если точка только кажется общей на рисунке, проверьте её принадлежность обоим объектам. Для доказательства, что прямая лежит в плоскости, ищите две различные точки этой прямой.

Разбор задач

Определяем взаимное расположение по рисунку

Условие. На схеме изображены прямая и плоскость; нужно решить, лежит ли прямая в плоскости, пересекает её или параллельна ей. Само изображение не даёт готового ответа, если положение объектов не подтверждено обозначениями или условиями. Разберём, как выбрать вариант без догадки.

1. Найдите сведения о принадлежности точек: например, указано ли, что две точки прямой принадлежат плоскости.
2. Если таких точек две и они различны, примените критерий: прямая лежит в плоскости.
3. Если доказана ровно одна общая точка и прямая не лежит в плоскости, сделайте вывод о пересечении.
4. Если общих точек нет, прямая параллельна плоскости; проверьте этот вывод по условию, а не только по виду схемы.

Ответ. Выбирают случай, подтверждённый данными задачи. Если известна только картинка и на ней линии выглядят пересекающимися, определить реальное положение нельзя. Нужно получить или использовать геометрические сведения о принадлежности.

Находим пересечение в пирамиде

Условие. В пирамиде задана прямая и плоскость одной из граней; требуется определить их точку пересечения и обосновать ответ. Пусть прямая проходит через вершину A, а плоскость грани содержит эту вершину. Тогда именно A можно проверить как кандидата на общую точку.

1. Установите, что A принадлежит прямой: по условию прямая проходит через эту вершину.
2. Установите, что A принадлежит плоскости грани: вершина входит в состав грани, а значит, лежит в её плоскости.
3. Сверьте остальные данные. Если прямая не лежит в плоскости грани, общая точка у них только одна.
4. Сделайте вывод: A — точка пересечения прямой с плоскостью грани.

Ответ. Точка пересечения — A, если выполнены указанные условия и прямая не содержится в плоскости грани. Если же прямая лежит в этой плоскости, общих точек бесконечно много, и назвать A единственной точкой пересечения нельзя. Поэтому проверка взаимного положения нужна даже после нахождения общей вершины.

Строим пересечение с плоскостью треугольника

Условие. Дана прямая, не лежащая в плоскости треугольника; нужно построить точку их пересечения. Прямое пересечение на плоском чертеже может быть трудно увидеть, поэтому используем вспомогательную плоскость. Для примера обозначим заданную прямую l, а плоскость треугольника — α.

1. Проведите плоскость β через прямую l, выбрав для её задания ещё одну точку, не лежащую на l.
2. Найдите линию пересечения β и α. Если известны две точки, принадлежащие обеим плоскостям, проведите через них прямую m.
3. Постройте пересечение l и m. Полученная точка принадлежит l и одновременно плоскости α, потому что m лежит в α.
4. Проверьте, что найденная точка действительно принадлежит нужному треугольнику, если требуется пересечение именно с его поверхностью, а не со всей плоскостью.

Ответ. Искомая точка — l ∩ m, где m — линия пересечения вспомогательной плоскости β с плоскостью α. Построение обосновано тем, что эта точка лежит на заданной прямой и в исходной плоскости. Если l и m не пересекаются, следует проверить выбор вспомогательной плоскости и построение линии m.

Типичные ошибки

Считать пересечение доказанным только потому, что линии на рисунке визуально встретились. Так происходит, потому что плоское изображение не сохраняет все пространственные отношения. Проверьте, есть ли в условии подтверждение общей точки и принадлежит ли она обоим объектам; без этого вид чертежа недостаточен.

Делать вывод, что прямая лежит в плоскости, по одной общей точке. Через эту точку прямая может продолжаться вне плоскости, поэтому одной принадлежности недостаточно. Для проверки найдите две различные точки прямой и докажите, что обе лежат в плоскости.

Называть прямую параллельной плоскости, не проверив отсутствие общих точек. Иногда за параллельность принимают просто отсутствие видимого пересечения, хотя прямая может лежать в плоскости. Сверьте, доказано ли, что общих точек нет; если общих точек бесконечно много, это случай прямой, лежащей в плоскости.

При построении принимать пересечение прямой со вспомогательной линией за ответ, не проверяя принадлежность этой линии исходной плоскости. Ошибка возникает, когда вспомогательное построение считают верным без обоснования. Проверьте, что линия получена как пересечение вспомогательной и исходной плоскостей; только тогда точка на ней подходит для решения.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужно знать, как плоскость задаётся точками и прямыми, и уметь пользоваться аксиомами стереометрии. Эти знания позволяют обосновывать принадлежность точки или прямой плоскости, а не угадывать её по изображению. Также пригодятся свойства принадлежности и понятие параллельных прямых: они помогают строить линии пересечения плоскостей. В дальнейшем этот способ используют при построении сечений многогранников и изучении взаимного расположения прямых и плоскостей.

Что запомнить

• У прямой и плоскости может быть ноль, одна или бесконечно много общих точек.
• Если у прямой и плоскости ровно одна общая точка, прямая пересекает плоскость.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, вся прямая лежит в этой плоскости.
• Параллельная плоскости прямая не имеет с ней общих точек.
• Для построения пересечения часто используют вспомогательную плоскость.