2. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку

Определения и обозначения

Плоскость — геометрическая фигура, с которой связывают основные положения стереометрии, то есть геометрии в пространстве. Обычно плоскости обозначают греческими буквами α, β, γ или называют по трём точкам, например плоскостью ABC. Для последнего обозначения точки A, B и C не должны лежать на одной прямой. Такое условие позволяет задать плоскость однозначно.

Точка принадлежит плоскости, если она расположена в этой плоскости; это записывают A ∈ α. Если точка не лежит в плоскости, пишут A ∉ α. Эти обозначения помогают точно указывать, какие объекты участвуют в рассуждении, и не путать принадлежность точек с принадлежностью прямых.

Прямая принадлежит плоскости, если каждая точка этой прямой лежит в данной плоскости. Запись a ⊂ α означает, что вся прямая a расположена в плоскости α, а не только какая-то её часть. Чтобы обосновать такую принадлежность, достаточно установить, что плоскости принадлежат две точки прямой.

Точка вне прямой — это точка, которая ей не принадлежит: если дана прямая a и точка M, то условие записывают M ∉ a. Оно необходимо для однозначного проведения плоскости через прямую и точку. Две точки прямой вместе с M тогда не лежат на одной прямой и определяют единственную плоскость.

Как это устроено

Пусть дана прямая a и точка M, не лежащая на ней. Сначала выберем на a две различные точки A и B. Это можно сделать, потому что прямая содержит множество точек, а для дальнейшего рассуждения нужны две её точки. Вместе с M они станут опорными точками, через которые удобно задать плоскость.

Точки A, B и M не лежат на одной прямой. Действительно, A и B принадлежат a и задают эту прямую, а M по условию на a не лежит. Поэтому через A, B и M проходит плоскость α. Так мы получаем искомую плоскость: её существование следует из положения о плоскости через три точки, не лежащие на одной прямой.

Пока установлено, что плоскость содержит точки A, B и M; нужно ещё связать её с исходной прямой. Точки A и B лежат на a и одновременно принадлежат α. По свойству прямой и плоскости, если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней. Значит, a ⊂ α, а M также принадлежит α по построению.

Для доказательства единственности допустим обратное: пусть через a и M проходят две плоскости α и β. В обеих плоскостях находятся точки A и B, потому что они лежат на общей прямой a, и точка M, заданная условием. Значит, обе плоскости проходят через одну и ту же тройку опорных точек. Такое сравнение позволяет применить положение о единственности плоскости через три точки.

Точки A, B и M не лежат на одной прямой, поэтому через них проходит только одна плоскость. Следовательно, α и β не могут быть различными: они совпадают. Предположение о двух разных плоскостях приводит к противоречию, и плоскость через a и M единственна. Таким образом, рассуждение отдельно устанавливает существование плоскости и невозможность построить другую.

Существование и единственность плоскости через прямую и точку

Пользуйся таблицей как планом доказательства: сначала построй плоскость, затем проверь, что в ней лежит вся прямая, и после этого докажи единственность. Для последнего шага сравнивают не произвольные плоскости, а те, которые содержат одни и те же три опорные точки.

Разбор задач

Задача 1. Дана прямая a и точка M, не лежащая на ней. Докажите, что через a и M проходит плоскость.

1. Выберем на a две различные точки A и B. Это нужно, чтобы воспользоваться утверждением о плоскости, заданной тремя точками, и одновременно затем обосновать принадлежность прямой этой плоскости.

2. Рассмотрим точки A, B и M. Первые две лежат на a, а M по условию не принадлежит a, поэтому все три точки не лежат на одной прямой. Через них проходит плоскость α.

3. Плоскости α принадлежат A и B, значит, по свойству прямой и плоскости ей принадлежит вся прямая AB, то есть a. Точка M тоже лежит в α по построению, поэтому α проходит через a и M.

Ответ: такая плоскость существует.

Задача 2. Даны прямая a и точка M вне неё. Докажите, что через них нельзя провести две различные плоскости.

1. Предположим противное: существуют две различные плоскости α и β, каждая из которых содержит a и M. На a выберем две точки A и B; тогда они принадлежат и α, и β.

2. По условию M также лежит в обеих плоскостях. Точки A, B и M не лежат на одной прямой, поскольку M находится вне a, а A и B задают a.

3. Получается, что две плоскости проходят через одну тройку точек, не лежащих на одной прямой. Но через такую тройку проходит только одна плоскость, значит, α и β совпадают, вопреки предположению.

Ответ: провести две различные плоскости нельзя; плоскость единственна.

Задача 3. Точки A и B лежат на прямой a, а точка C не лежит на a. Плоскость α содержит A, B и C. Докажите, что a лежит в α и что α — единственная плоскость, содержащая a и C.

1. Поскольку A и B принадлежат α и лежат на a, по свойству прямой и плоскости вся прямая a лежит в α. Точка C тоже принадлежит α по условию, поэтому α действительно содержит прямую a и точку C.

2. Предположим, что существует ещё одна плоскость β, содержащая a и C. Тогда в β лежат A и B, так как они принадлежат a, а также C по предположению.

3. Точки A, B и C не лежат на одной прямой: A и B принадлежат a, а C вне неё. И α, и β проходят через эту тройку, поэтому по единственности плоскости через три такие точки α = β.

Ответ: a ⊂ α, и α — единственная плоскость, содержащая a и C.

Типичные ошибки

Первая ошибка — не указать, что данная точка не лежит на прямой. Если это условие не выполнено, выбранные точки могут оказаться на одной прямой, и положение о плоскости через три точки применить нельзя. Ошибка возникает, когда условие задачи воспринимают как второстепенную деталь. Проверь себя: отдельно назови прямую и убедись, что третья точка ей не принадлежит.

Вторая ошибка — считать, что для принадлежности прямой плоскости достаточно одной общей точки. Одна точка прямой в плоскости не гарантирует, что остальные её точки тоже там находятся. Здесь часто смешивают принадлежность точки с принадлежностью всей прямой. Проверь доказательство: в нём должны быть указаны две точки данной прямой, лежащие в плоскости.

Третья ошибка — при доказательстве единственности заново строить плоскость, хотя требуется сравнить две предполагаемые плоскости. Построение может показать существование, но само по себе не исключает других вариантов. Чтобы проверить рассуждение, предположи наличие двух плоскостей и покажи, что обе проходят через одну тройку точек, не лежащих на одной прямой.

Четвёртая ошибка — выбрать две точки на прямой и внешнюю точку, но не объяснить, почему эти три точки не лежат на одной прямой. Этот шаг могут пропускать, считая его очевидным, однако на нём основано применение теоремы. Проверь себя: укажи, что две точки задают исходную прямую, а третья по условию ей не принадлежит.

Связь с другими темами

Для доказательства нужна теорема о том, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Поэтому перед этой темой важно понимать, какие точки называют лежащими на одной прямой и как задают плоскость. Новый результат развивает это положение: вместо трёх точек плоскость задают прямой и точкой вне неё.

Дальше этот способ пригодится при доказательстве принадлежности прямых и точек плоскостям, а также при построениях в стереометрии. В задачах можно сначала выделить прямую и точку вне неё, затем определить плоскость, содержащую оба объекта. Такой приём помогает обосновать, почему нужная плоскость существует и почему она только одна.

Что запомнить

• Точка должна находиться вне данной прямой.
• На прямой можно выбрать две различные точки.
• Две точки прямой и точка вне неё не лежат на одной прямой.
• Через прямую и точку вне неё проходит плоскость.
• Такая плоскость единственна.
• Для доказательства существования используют три точки, не лежащие на одной прямой.
• Для доказательства единственности сравнивают две плоскости, содержащие эти три точки.