"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Стереометрия описывает фигуры в пространстве, а её исходные правила — аксиомы — помогают рассуждать о точках, прямых и плоскостях. Главный объект первых аксиом — плоскость: её можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой, прямой и точкой вне неё или двумя пересекающимися прямыми. Аксиомы также позволяют установить, когда прямая принадлежит плоскости и как пересекаются две плоскости. Эти правила служат основой для доказательств в геометрии пространства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Стереометрия — раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве. В планиметрии рассматривают точки и фигуры на одной плоскости, а в стереометрии — также плоскости и объекты, выходящие за пределы одной плоскости. Это различие нужно учитывать, потому что пространственные фигуры могут располагаться друг относительно друга иначе, чем плоские.
Плоскость — бесконечная ровная поверхность, которая продолжается во все стороны. На рисунке её обычно изображают частью параллелограмма, хотя на самом деле она не ограничена его краями. Плоскость обозначают греческой буквой, например α, или тремя точками, например плоскостью ABC; точки при этом не должны лежать на одной прямой.
Аксиома стереометрии — утверждение о точках, прямых и плоскостях, которое принимают без доказательства. Аксиомы служат исходными правилами: из них выводят другие свойства и строят доказательства. Благодаря им рассуждения о пространстве опираются не только на рисунок, но и на точно сформулированные условия.
Пересечение плоскостей — их общая часть, то есть множество точек, принадлежащих обеим плоскостям. Если две плоскости имеют общую точку, их пересечение является прямой. Это понятие позволяет описывать, где именно соприкасаются плоскости, и проверять, принадлежит ли общая точка обеим.
Аксиом планиметрии недостаточно для описания пространства: они рассматривают отношения точек и прямых внутри плоскости, но сами по себе не объясняют, как соотносятся разные плоскости. Поэтому в стереометрии вводят исходные утверждения о плоскостях и их пересечениях. Они дополняют знакомые правила и дают основу для доказательств о пространственных фигурах.
Первая аксиома утверждает, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Три такие точки не могут уместиться на одной линии, поэтому они определяют положение плоскости. Слово «единственная» исключает возможность провести через эту тройку другую плоскость; если же все три точки лежат на прямой, условие аксиомы не выполнено.
Если две точки прямой принадлежат плоскости, вся прямая лежит в этой плоскости. Причина в том, что две точки определяют прямую, и в рассматриваемом случае она целиком является частью плоскости. На практике аксиома позволяет перейти от принадлежности отдельных точек к принадлежности всей прямой, но только при наличии двух таких точек.
Если плоскости имеют общую точку, по аксиоме они пересекаются по прямой. Это означает, что их общая часть не может состоять из одной точки: вместе с ней существует линия, целиком принадлежащая обеим плоскостям. Поэтому всякая другая общая точка этих плоскостей тоже лежит на линии пересечения.
Из аксиом получают удобные способы задать плоскость. Прямая и точка вне неё образуют три точки, не лежащие на одной прямой: на прямой можно выбрать две точки, а третья задана отдельно. Две пересекающиеся прямые также дают три неколлинеарные точки: точку пересечения и по одной точке на каждой прямой. В обоих случаях первая аксиома гарантирует существование и единственность плоскости.
| Утверждение | Условие | Что можно заключить |
|---|---|---|
| Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость | Три точки неколлинеарны | Эти точки задают ровно одну плоскость |
| Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости | Две точки одной прямой лежат в плоскости | Вся прямая лежит в этой плоскости |
| Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой | У плоскостей есть общая точка | Их общая часть — прямая |
| Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость | Точка не лежит на данной прямой | Прямая и точка задают ровно одну плоскость |
| Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость | Прямые имеют общую точку | Обе прямые лежат в одной плоскости |
При решении задачи сначала найди в условии объекты и проверь, совпадают ли они с условиями строки таблицы. Затем используй вывод из этой строки, не заменяя условие похожим, но недостаточным. Например, для вывода о целой прямой в плоскости нужны именно две её точки в этой плоскости.
Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Нужно определить, сколько плоскостей можно провести через них. Здесь важно проверить, что условие совпадает с формулировкой первой аксиомы, а затем учесть слово «единственная».
Сопоставим условие задачи с аксиомой: даны три точки, не лежащие на одной прямой. Это именно тот набор объектов, через который аксиома рассматривает плоскость. Значит, можно применить её напрямую.
Аксиома утверждает, что через такие три точки проходит единственная плоскость. Следовательно, провести через A, B и C больше одной плоскости нельзя. Условие о неколлинеарности здесь обязательно.
Ответ: одну плоскость.
Точки A и B прямой l принадлежат плоскости α. Требуется обосновать, что вся прямая l лежит в α. Не нужно проверять все точки прямой отдельно: для этого и существует аксиома о двух точках прямой.
Отметим, что A и B — две точки одной и той же прямой l. По условию обе принадлежат плоскости α. Значит, выполнено условие аксиомы о прямой и плоскости.
Применяем аксиому: если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Поэтому каждый пункт прямой l лежит в α. Это и требовалось доказать.
Ответ: прямая l лежит в плоскости α по аксиоме о двух точках прямой.
Плоскости α и β имеют общую точку A, а прямая l лежит в α и проходит через A. Нужно доказать, что l и β имеют общую точку. Сначала следует выяснить, где проходит пересечение α и β, а затем связать с этой линией точку A.
Поскольку α и β имеют общую точку A, по аксиоме они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую m. Каждая точка m принадлежит обеим плоскостям, в том числе α и β.
Точка A принадлежит линии пересечения m, а прямая l проходит через A. Поэтому A одновременно принадлежит l и β: принадлежность β следует из того, что A — общая точка плоскостей. Значит, у l и β есть общая точка.
Ответ: прямая l и плоскость β имеют общую точку A.
Ошибка — считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так рассуждают, забывая проверить, не лежат ли все точки на одной прямой; через такую прямую можно провести несколько плоскостей. Перед применением аксиомы проверь, что среди трёх точек нет одной общей прямой, содержащей их все.
Ошибка — заключать, что прямая лежит в плоскости, если с плоскостью совпадает только одна точка этой прямой. Одна точка может принадлежать плоскости, тогда как остальные точки прямой находятся вне неё. Проверь условие аксиомы: для вывода нужны две точки одной прямой, принадлежащие данной плоскости.
Ошибка — допускать, что две плоскости могут иметь ровно одну общую точку. Это кажется возможным, если представлять пересечение как соприкосновение в одной точке, но аксиома утверждает, что общая точка задаёт линию пересечения. Проверь рассуждение вопросом: какая прямая проходит через эту точку и лежит в обеих плоскостях?
Ошибка — путать единственность плоскости, заданной объектами, с единственностью самой прямой или точки. Например, формулировка о единственной плоскости через две пересекающиеся прямые не означает, что прямых может быть только две. Проверяй, к какому объекту относится слово «единственная» в утверждении и какие именно объекты заданы.
Для работы с аксиомами нужны понятия планиметрии: точка, прямая, принадлежность и пересечение фигур. Планиметрия даёт привычный язык для рассуждений, а стереометрия расширяет его на пространство и плоскости. Если условие задачи описывает только одну плоскость, многие знакомые свойства можно применять внутри неё.
Аксиомы становятся инструментом в темах о взаимном расположении прямых и плоскостей: с их помощью устанавливают, какие объекты пересекаются и где они лежат. Они также нужны при построении сечений многогранников, когда плоскость пересекает рёбра и грани. В таких задачах важно обосновывать принадлежность точек и линий, а не полагаться только на вид рисунка.
Чем стереометрия отличается от планиметрии?
Планиметрия изучает фигуры на плоскости: точки, прямые и плоские многоугольники. Стереометрия рассматривает фигуры в пространстве, в том числе плоскости и их взаимное расположение.
Почему через три точки не всегда можно однозначно задать плоскость?
Если три точки лежат на одной прямой, через эту прямую можно провести несколько плоскостей. Поэтому единственную плоскость гарантируют только три точки, не лежащие на одной прямой.
Достаточно ли одной общей точки, чтобы две плоскости пересекались?
Да. По аксиоме, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Значит, у них есть не одна общая точка, а все точки этой линии.
Как доказать, что прямая лежит в плоскости?
Нужно показать, что две точки этой прямой принадлежат плоскости. Тогда по аксиоме вся прямая лежит в данной плоскости.
Какими объектами можно задать единственную плоскость?
Единственную плоскость задают три точки, не лежащие на одной прямой, прямая и точка вне неё, а также две пересекающиеся прямые. Эти способы следуют из аксиом стереометрии.
1. Аксиомы стереометрии
