§ 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве. В отличие от планиметрии, где рассматривают фигуры на плоскости, здесь изучают, например, взаимное расположение прямых и плоскостей. Это нужно, чтобы описывать объёмные фигуры и доказывать свойства их элементов. Основные объекты стереометрии — точки, прямые и плоскости.

Аксиома — исходное утверждение, которое принимают без доказательства. Аксиомы стереометрии устанавливают основные отношения между точками, прямыми и плоскостями. На них опираются при доказательстве теорем и следствий. Поэтому при решении задачи сначала полезно понять, какая аксиома подходит к данным условиям.

Плоскость обозначают строчной греческой буквой, например α, или тремя заглавными буквами точек, например плоскость ABC. Три точки задают плоскость, если они не лежат на одной прямой; такие точки называют неколлинеарными. Это обозначение позволяет точно указать, о какой плоскости идёт речь. Условие о неколлинеарности необходимо: одной прямой недостаточно, чтобы выбрать единственную плоскость.

Пересечение двух плоскостей — их общая часть, то есть множество точек, принадлежащих обеим плоскостям. Если плоскости имеют хотя бы одну общую точку, по аксиоме их общая часть является прямой. Это связано с тем, что две различные плоскости не могут иметь только одну общую точку: вместе с ней в их пересечении располагается целая линия. Эту прямую называют линией пересечения плоскостей.

Как это устроено

Аксиома о трёх точках утверждает: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость. Существование означает, что такую плоскость можно провести, а единственность — что другой плоскости через те же точки нет. Условие о неколлинеарности не формальность: три точки на одной прямой не определяют одну плоскость. Именно эта аксиома даёт простой способ задать плоскость.

Вторая аксиома гласит: если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Причина в том, что прямая определяется своими точками, и наличие в плоскости двух её точек означает, что плоскость содержит всю прямую. Это правило позволяет перейти от отдельных точек к целой прямой. Одной общей точки для такого вывода недостаточно.

Аксиома о пересечении плоскостей формулируется так: если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Общая точка служит началом линии пересечения, а другие точки этой линии также принадлежат обеим плоскостям. Поэтому при наличии общей точки пересечение не ограничивается ею одной. Аксиома помогает описывать взаимное расположение плоскостей.

Из аксиомы о трёх точках следует, что через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость. Возьмём на прямой две различные точки и добавим точку, не лежащую на этой прямой: три точки неколлинеарны. По аксиоме через них проходит ровно одна плоскость. Она содержит всю прямую по аксиоме о двух точках прямой в плоскости, а значит, удовлетворяет условию; любая другая такая плоскость тоже содержала бы эти три точки, что невозможно.

Через две пересекающиеся прямые проходит ровно одна плоскость. Пусть прямые a и b пересекаются в O; выберем на a точку A, отличную от O, и на b точку B, отличную от O. Точки A, O и B не лежат на одной прямой, поэтому задают единственную плоскость. В ней лежат две точки каждой прямой: A и O для a, O и B для b, следовательно, обе прямые целиком принадлежат этой плоскости. Любая плоскость, содержащая обе прямые, должна содержать A, O и B, поэтому другой такой плоскости нет.

Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

Пользуйся таблицей, начиная с условия: найди, какие объекты и отношения даны в задаче. Затем выбери строку, чьё условие совпадает с данными, и проверь, что именно разрешено заключить. Первые три строки — аксиомы, последние две — следствия, которые получают из аксиом.

Разбор задач

Задача 1. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Здесь прямо указано условие о неколлинеарности, поэтому нужно выбрать аксиому, в формулировке которой встречаются три такие точки. Она отвечает не только за существование плоскости, но и за её единственность.

1. Сопоставим условие с аксиомой о трёх точках.
2. По аксиоме через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.

Ответ: одна плоскость.

Задача 2. Точки A и B прямой лежат в плоскости α. Обоснуйте, что прямая AB лежит в α. В условии речь идёт о двух точках одной прямой, а не только об одной общей точке. Это позволяет применить аксиому о принадлежности прямой плоскости напрямую, без дополнительного построения.

1. Отметим, что A и B — точки прямой AB и обе принадлежат плоскости α.
2. По аксиоме, если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
3. Следовательно, прямая AB целиком лежит в α.

Ответ: прямая AB лежит в плоскости α по аксиоме.

Задача 3. Прямые a и b пересекаются в точке O. Докажите, что через них проходит единственная плоскость. Чтобы воспользоваться аксиомой о трёх точках, нужно получить три неколлинеарные точки; пересечение прямых как раз позволяет выбрать их на двух разных прямых. Затем надо отдельно доказать, что в построенной плоскости лежат обе прямые, и проверить единственность.

1. Выберем на прямой a точку A, отличную от O, а на прямой b — точку B, отличную от O.
2. Точки A, O и B неколлинеарны: иначе прямые a и b совпали бы, а не пересекались как две разные прямые.
3. Через A, O и B проходит единственная плоскость α. Так как A и O лежат на a, а O и B — на b, по аксиоме о прямой обе прямые целиком лежат в α.
4. Любая плоскость, содержащая a и b, содержит A, O и B, а значит, совпадает с единственной плоскостью через эти точки.

Ответ: через пересекающиеся прямые проходит ровно одна плоскость.

Типичные ошибки

• Считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так думают, забывая проверить их взаимное расположение, но если точки лежат на одной прямой, через неё можно провести разные плоскости. Перед применением аксиомы проверь, что точки неколлинеарны.

• Делать вывод, что прямая лежит в плоскости, по одной общей точке. Одна точка не позволяет применить аксиому: в ней требуется принадлежность плоскости двух точек прямой. Для самопроверки найди в условии именно две такие точки.

• Считать, что пересечение плоскостей — только одна общая точка. Это путают с пересечением, например, двух прямых на плоскости, но аксиома стереометрии утверждает, что общая часть двух плоскостей при наличии общей точки — прямая. Проверь, не подменяешь ли ты общую точку всей линией пересечения.

• Называть следствие аксиомой. Следствие может звучать как готовое правило, поэтому легко забыть, что его надо обосновать. Если утверждение не дано как исходная аксиома, покажи, какие аксиомы приводят к нему.

Связь с другими темами

Для изучения стереометрии нужны понятия планиметрии: точка, прямая, принадлежность точки прямой, пересечение прямых и коллинеарность точек. Аксиомы и их следствия становятся основой доказательств о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве. Позже эти рассуждения пригодятся при изучении параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Поэтому точное применение исходных правил важно для следующих тем геометрии.

Что запомнить

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
• Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой.
• Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость.
• Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.