§ 3. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В планиметрии все объекты рассматривают на одной плоскости, а в пространстве прямые и плоскости могут быть расположены под разными углами и не иметь общих точек. Поэтому здесь нужно выяснять не только размеры, но и взаимное расположение фигур.

Аксиома стереометрии — утверждение о точках, прямых и плоскостях в пространстве, которое принимают без доказательства. Аксиомы являются исходными правилами: с их помощью доказывают другие свойства и решают задачи.

Плоскость — бесконечная плоская поверхность, не имеющая границ. На чертеже её обычно изображают в виде параллелограмма, потому что настоящий бесконечный объект нарисовать нельзя, и обозначают греческой буквой α, β или γ. Плоскость также можно назвать по трём точкам, например плоскость ABC.

Пересечение плоскостей — их общая часть. Если две различные плоскости имеют общую точку, их общей частью является прямая, которую называют линией пересечения. Она содержит все точки, принадлежащие обеим плоскостям.

Как это устроено

Первая аксиома утверждает: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Точки не должны быть коллинеарными, иначе они задают только одну прямую, а через неё можно провести много плоскостей. Поэтому три такие точки позволяют однозначно задать плоскость и назвать её, например, ABC.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Причина в том, что плоскость содержит прямую, проходящую через любые две свои точки. Значит, для проверки принадлежности всей прямой достаточно найти на ней две точки, уже принадлежащие плоскости; одной точки для такого вывода недостаточно.

Аксиома пересечения гласит: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Нельзя считать их общей частью только одну точку: две плоскости не могут «закончиться» в ней, поскольку каждая бесконечна. Если найдена ещё одна общая точка, линия пересечения определяется однозначно как прямая через эти две точки.

Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость. Чтобы увидеть причину, выберем на прямой две точки и добавим данную точку вне прямой. Эти три точки не лежат на одной прямой, поэтому первая аксиома задаёт ровно одну плоскость.

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Их общая точка и ещё по одной точке на каждой прямой дают три точки, не лежащие на одной прямой. Первая аксиома определяет плоскость, а аксиома о прямой показывает, что обе исходные прямые целиком лежат в ней.

Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

В таблице сначала указано условие, при котором можно применить утверждение, а затем результат. При решении задачи сопоставляйте данные с левой и средней колонками, после чего формулируйте вывод из правой колонки.

Разбор задач

Задача 1. Три точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Здесь прямо указано условие применения первой аксиомы, поэтому достаточно сопоставить данные с её формулировкой.

1. Проверяем, что точки A, B и C неколлинеарны.
2. Применяем аксиому о трёх точках, не лежащих на одной прямой.
3. Получаем единственную плоскость ABC.

Ответ: одна плоскость.

Задача 2. Точки A и B принадлежат плоскости α. Как расположена прямая AB относительно α? Важно использовать именно две точки одной прямой, а не только факт наличия общей точки.

1. Точки A и B лежат на прямой AB.
2. Обе точки принадлежат плоскости α.
3. По аксиоме о прямой вся прямая AB лежит в плоскости α.

Ответ: прямая AB принадлежит плоскости α.

Задача 3. Плоскости α и β имеют общую точку A. Прямая l лежит в α и проходит через A. Что можно заключить о пересечении плоскостей и как определить его, если известна ещё одна общая точка? Принадлежность l плоскости α сама по себе не означает, что l является общей прямой.

1. Так как A принадлежит обеим плоскостям, α и β имеют общую точку.
2. По аксиоме плоскости пересекаются по некоторой прямой, проходящей через A.
3. Если B — ещё одна общая точка, то A и B принадлежат обеим плоскостям.
4. Проводим прямую AB; она и есть линия пересечения α и β.

Ответ: плоскости пересекаются по прямой через A; при наличии точки B эта прямая — AB. О прямой l можно сказать только, что она лежит в α и проходит через A.

Типичные ошибки

Любые три точки задают единственную плоскость. Это неверно, если точки лежат на одной прямой: через такую прямую проходит множество плоскостей. Проверьте, есть ли среди трёх точек неколлинеарная тройка.

Одна общая точка доказывает принадлежность прямой плоскости. По одной точке прямая может только пересекать плоскость. Для нужного вывода найдите две точки этой прямой, лежащие в плоскости.

Две плоскости пересекаются только в общей точке. Общая точка лишь подтверждает, что плоскости пересекаются, а их общая часть является прямой. Если дана вторая общая точка, соедините её с первой.

Видимое пересечение на рисунке считают доказанным. Перспектива может показывать пересекающимися прямые, которые в пространстве не имеют общей точки. Проверяйте положение фигур по условию и аксиомам, а не только по виду чертежа.

Связь с другими темами

• До изучения темы нужны понятия точки, прямой, отрезка и принадлежности точки прямой или плоскости. Без них невозможно точно читать условие и записывать вывод.
• Аксиомы стереометрии опираются на исходные представления планиметрии о прямых, точках и плоскостях. Пространственные утверждения расширяют их на объекты, расположенные не в одной плоскости.
• Эти правила понадобятся при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей. На них также строятся доказательства теорем стереометрии.

Что запомнить

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней.
• Две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую.
• Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость.
• Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.