Раздел 2. Введение в стереометрию

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В отличие от планиметрии, где рассматривают фигуры на плоскости, здесь изучают также взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве. Это понятие нужно, чтобы понимать, какие объекты участвуют в рассуждении и какие отношения между ними требуется доказать.

Аксиома стереометрии — утверждение о точках, прямых и плоскостях, которое принимают без доказательства. Аксиомы служат опорой для дальнейших выводов: каждую теорему можно обосновать, опираясь на них и уже доказанные утверждения. В школьной геометрии основные аксиомы описывают существование плоскости и пересечения прямых и плоскостей.

Точка — простейший геометрический объект, не имеющий размеров; прямой называют бесконечную линию без изгибов, а плоскостью — бесконечную ровную поверхность. Эти объекты являются основными, то есть их свойства принимаются как исходные. Точки обычно обозначают прописными латинскими буквами A, B, C, прямые — строчными буквами или двумя точками, например AB, а плоскости — греческими буквами α, β.

Три точки называются неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой. Через них можно провести единственную плоскость, поэтому три такие точки задают плоскость; её обозначают, например, ABC. Это условие важно: если точки лежат на одной прямой, через них проходит не одна плоскость, а бесконечно много.

Как это устроено

Пространственную геометрию строят на простых отношениях между точками, прямыми и плоскостями. Через любые три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Слово «единственная» означает, что нельзя провести через те же три точки другую плоскость, поэтому такой набор точек позволяет однозначно задать плоскость.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Причина в том, что прямая определяется двумя своими точками: когда обе точки уже находятся в плоскости, прямая, проходящая через них, целиком содержится в ней. Это утверждение удобно применять, чтобы доказать принадлежность прямой плоскости, не проверяя каждую её точку отдельно.

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. В точке пересечения можно провести прямую, которая лежит в обеих плоскостях; иначе говоря, общие точки этих плоскостей образуют линию. Поэтому, чтобы определить линию пересечения на чертеже или в задаче, ищут две общие точки плоскостей: через них проходит единственная прямая.

Плоскость можно задать не только тремя неколлинеарными точками. Её также однозначно определяют прямая и точка, не лежащая на ней, либо две пересекающиеся прямые. Во всех случаях задающие объекты не должны совпадать или располагаться так, чтобы через них можно было провести много плоскостей. Эти способы помогают распознавать плоскости в объёмных фигурах: например, три вершины треугольной грани задают её плоскость.

Чертёж стереометрической задачи делают на плоском листе, хотя изображаемые объекты находятся в пространстве. Поэтому параллельные или пересекающиеся в пространстве линии могут выглядеть на рисунке иначе, а часть рёбер иногда показывают пунктиром. Чертёж подсказывает возможное расположение объектов, но сам по себе не доказывает их свойства. Доказательство должно опираться на аксиомы, определения и установленные ранее факты.

Плоскость в пространстве

Пользуйтесь таблицей, когда нужно обосновать, что плоскость задана однозначно. Сначала проверьте условие в средней колонке: без него вывод может оказаться неверным. Затем укажите соответствующий способ задания плоскости и используйте его в доказательстве.

Разбор задач

Задача. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Прямые AB и AC пересекают плоскость β соответственно в точках P и Q, причём P ≠ Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат в одной плоскости. Здесь важно установить общие точки двух плоскостей, а не делать вывод только по рисунку.

1. Обозначим через α плоскость, проходящую через точки A, B и C. Она существует и единственна, потому что A, B и C неколлинеарны. Прямые AB и AC лежат в α, так как каждая из них проходит через две точки этой плоскости.

2. Точка P принадлежит прямой AB, а точка Q принадлежит прямой AC. Поскольку обе прямые лежат в α, точки P и Q тоже принадлежат α. Точка A уже принадлежит этой плоскости по её определению.

3. Значит, A, P и Q лежат в α. Кроме того, P и Q принадлежат β по условию, а точки различны, поэтому прямая PQ лежит в β. Точки P и Q одновременно принадлежат α, следовательно, по аксиоме пересечения плоскостей прямая PQ является линией пересечения α и β.

Ответ: точки A, P и Q лежат в плоскости α; плоскости α и β пересекаются по прямой PQ. В ходе решения сначала определили плоскость, содержащую исходные прямые, а затем проследили, каким плоскостям принадлежат точки пересечения. Такой порядок не позволяет перепутать принадлежность точки прямой с принадлежностью всей прямой другой плоскости.

Типичные ошибки

• Утверждать, что любые три точки задают единственную плоскость. Так делают, забывая проверить, лежат ли точки на одной прямой; через одну прямую можно провести много плоскостей. Перед выводом проверьте условие неколлинеарности.

• Считать, что общая точка двух плоскостей — это вся линия их пересечения. Одна точка подтверждает лишь то, что плоскости имеют общую точку, но не задаёт прямую пересечения. Для определения такой прямой найдите две различные общие точки.

• Делать вывод о взаимном расположении объектов только по рисунку. Изображение пространства на листе может искажать видимые углы и направления, поэтому видимое пересечение не всегда является доказательством. Проверьте вывод по аксиомам или отметьте, какие данные задачи его обосновывают.

• Считать, что если одна точка прямой лежит в плоскости, то вся прямая лежит в ней. Для такого вывода недостаточно одной точки: аксиома требует, чтобы в плоскости находились две точки прямой. Проверьте наличие обеих точек и только затем делайте вывод о прямой.

Связь с другими темами

В планиметрии изучают те же базовые объекты — точки и прямые, но рассматривают их в одной плоскости. Стереометрия расширяет эти рассуждения и добавляет взаимное расположение разных плоскостей в пространстве. Аксиомы помогают обосновывать свойства многогранников: их вершины, рёбра и грани связаны точками, прямыми и плоскостями. Позже эти понятия понадобятся при изучении параллельности и перпендикулярности, а также объёмов тел.

Что запомнить

• Стереометрия изучает фигуры и отношения между ними в пространстве.

• Через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость.

• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.

• Если две плоскости имеют общие точки, они пересекаются по прямой; чтобы указать её, достаточно найти две различные общие точки.

• Чертёж помогает увидеть возможное расположение объектов, но доказательство строят на аксиомах и логических выводах.