§ 1. Аксиомы стереометрии

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В планиметрии рассматривают точки, прямые и фигуры на одной плоскости, а в стереометрии учитывают также их расположение относительно друг друга в пространстве. Это нужно, например, чтобы исследовать многогранники и их сечения.

Аксиома стереометрии — исходное утверждение о точках, прямых и плоскостях, которое принимают без доказательства. Аксиомы задают основные правила, на которые можно опираться в рассуждениях. Благодаря им доказывают новые утверждения — теоремы.

Плоскость — одна из основных фигур стереометрии; мысленно её считают бесконечной. На чертеже для наглядности её обычно изображают параллелограммом, а обозначают греческой буквой, например α, или тремя точками, не лежащими на одной прямой. Такой условный рисунок помогает показать взаимное расположение фигур, но не границы плоскости.

Принадлежность показывает, находится ли точка на прямой или в плоскости и лежит ли прямая в плоскости. Запись A ∈ α означает, что точка A принадлежит плоскости α; запись a ⊂ α — что прямая a целиком лежит в плоскости α. Для точки и прямой используют также запись A ∈ a, а символ ∉ означает «не принадлежит».

Как это устроено

Пространственные фигуры нельзя полностью описать только правилами планиметрии: в пространстве две прямые могут не пересекаться и при этом не быть параллельными. Поэтому геометрия начинает рассуждение с основных объектов — точек, прямых и плоскостей — и нескольких базовых свойств. Их принимают как аксиомы, чтобы дальнейшие выводы имели общую, надёжную основу.

Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость однозначно: существует плоскость, проходящая через них, и другой такой плоскости нет. Условие о неколлинеарности существенно, потому что три точки на одной прямой не определяют единственную плоскость. На практике, если на чертеже отмечены три неколлинеарные точки, ими можно обозначить плоскость.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то в этой плоскости лежит вся прямая. Причина в том, что прямая определяется двумя своими точками, а аксиома связывает их принадлежность плоскости с принадлежностью ей прямой. На чертеже для применения этого правила нужно назвать именно две точки одной прямой и проверить, что обе находятся в одной плоскости.

Две плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой. Их общая часть не может состоять только из этой точки: аксиома утверждает, что через неё проходит общая прямая, все точки которой принадлежат обеим плоскостям. Поэтому линию пересечения на рисунке проводят там, где условно встречаются изображения плоскостей.

Из аксиом получают следствия — утверждения, которые уже обосновывают с помощью известных правил. Например, если точки A и B принадлежат плоскости α и лежат на прямой a, то можно заключить, что a ⊂ α. В доказательстве важно не ограничиваться рисунком: назови условие, подходящую аксиому и сделай вывод именно о тех объектах, которые указаны.

Основные аксиомы стереометрии и их применение

Чтобы пользоваться таблицей, сначала точно установи, какие точки или плоскости даны в условии. Затем найди строку, в которой выполнено условие аксиомы, и сформулируй только соответствующий ей вывод. Если условие не выполнено, применять эту аксиому нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей можно провести через них? Нужно определить не только возможность провести плоскость, но и число таких плоскостей.

1. Проверяем условие: точки неколлинеарны, то есть не лежат на одной прямой. Это именно тот случай, для которого сформулирована первая аксиома.
2. Применяем аксиому о трёх не лежащих на одной прямой точках. Она утверждает, что через такие точки проходит единственная плоскость.

Ответ: одну плоскость. Слово «единственная» означает, что другой плоскости, проходящей через все три точки, нет.

Задача 2

Точки A и B прямой лежат в плоскости α. Сделайте вывод о прямой AB. Здесь важно понять, достаточно ли названных точек, чтобы судить обо всей прямой.

1. Точки A и B принадлежат одной прямой AB и, согласно условию, обе принадлежат плоскости α. Значит, выполнено условие аксиомы о двух точках прямой в плоскости.
2. По этой аксиоме вся прямая AB лежит в плоскости α. Мы делаем вывод о прямой целиком, а не только о двух отмеченных на ней точках.

Ответ: прямая AB лежит в плоскости α, то есть AB ⊂ α. Если бы была известна принадлежность только одной точки, такого вывода сделать было бы нельзя.

Задача 3

Плоскости α и β имеют общую точку P. Докажите, что любая их общая точка лежит на одной прямой. Требуется установить, как устроено множество точек, которые принадлежат сразу обеим плоскостям.

1. Так как P принадлежит обеим плоскостям, плоскости α и β имеют общую точку. Значит, можно применить аксиому о пересечении плоскостей.
2. По аксиоме две такие плоскости пересекаются по прямой l. Все точки этой прямой принадлежат обеим плоскостям, и их общая часть является этой прямой.

Ответ: любая общая точка α и β лежит на прямой l — линии их пересечения. Это следует из аксиомы; одной только отметки точки P для построения всей линии было бы недостаточно.

Типичные ошибки

Считать, что любые три точки задают единственную плоскость, — неверно. Так рассуждают, забывая проверить, не лежат ли все три точки на одной прямой. Перед применением аксиомы проверь их расположение: условие требует именно неколлинеарные точки.

Делать вывод о принадлежности всей прямой плоскости по одной общей точке нельзя. Одна точка прямой может лежать в плоскости, а остальные — нет, поэтому для применения аксиомы нужны две точки этой прямой в плоскости. Проверь, указаны ли обе точки и принадлежат ли они одной прямой.

Параллелограмм на чертеже иногда принимают за ограниченную плоскость. Это лишь способ изобразить бесконечную фигуру на конечном листе; границы рисунка не являются границами плоскости. Проверяй себя вопросом: описывает ли условие реальную границу или рисунок просто показывает плоскость условно?

Утверждать, что плоскости пересекаются по прямой, можно только при наличии общей точки. Ошибка возникает, когда известную аксиому вспоминают, но пропускают её условие. Прежде чем назвать линию пересечения, укажи, что плоскости имеют хотя бы одну общую точку.

Связь с другими темами

Для изучения стереометрии нужны понятия из планиметрии: точка, прямая, принадлежность точки прямой, а также коллинеарные и неколлинеарные точки. Они позволяют точно формулировать условия аксиом и понимать, какие объекты заданы. Новые правила затем применяют в пространственных задачах.

Аксиомы служат основой для теорем о взаимном расположении прямых и плоскостей. Они также нужны при построении сечений многогранников: части фигуры, лежащие в одной плоскости, приходится связывать с её пересечениями с гранями. Поэтому важно не просто знать формулировки, но и уметь проверять условия их применения.

Что запомнить

• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней.
• Две плоскости с общей точкой пересекаются по прямой.
• Аксиомы принимают без доказательства; теоремы доказывают с их помощью.
• На чертеже плоскость изображают условно, обычно в виде параллелограмма.
• Вывод о прямой в плоскости требует указать две её точки, принадлежащие этой плоскости.