1.1. Аксиома, плоскости

Определения и обозначения

Аксиома стереометрии — утверждение о свойствах точек, прямых и плоскостей в пространстве, которое принимают без доказательства. Аксиомы задают исходные правила, на которые опираются дальнейшие рассуждения. Благодаря им можно обосновывать выводы о фигурах в пространстве.

Плоскость — бесконечная ровная поверхность и одна из основных геометрических фигур. Её обозначают греческими буквами α, β или тремя точками, не лежащими на одной прямой, например плоскостью ABC. Такое обозначение сразу указывает, какие точки задают плоскость.

Копланарные точки — точки, принадлежащие одной плоскости. Если нельзя найти плоскость, содержащую все рассматриваемые точки, их называют некомпланарными. Понятие помогает описывать расположение точек в пространстве, где они могут не находиться на одной общей поверхности.

Пересечение плоскостей — их общая часть. Для двух различных плоскостей наличие общей точки означает, что их пересечение является прямой, а не отдельной точкой. Это правило позволяет точно описать, как плоскости расположены друг относительно друга.

Как это устроено

Геометрию пространства начинают с аксиом, потому что любое доказательство должно на что-то опираться. Если доказывать каждое исходное правило через другое, рассуждение не получит начала. Аксиомы принимают без доказательства, а затем используют для построения определений и доказательства теорем.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Если бы точки лежали на одной прямой, через эту прямую можно было бы провести несколько плоскостей, и выбрать одну из них по этим точкам было бы нельзя. Поэтому условие неколлинеарности необходимо, чтобы плоскость определялась однозначно.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Это позволяет проверять принадлежность прямой не для каждой её точки, а только для двух точек на ней. Например, если A и B лежат в α, а прямая l проходит через A и B, то можно заключить, что l ⊂ α.

Две различные плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой. Общая часть не может состоять только из одной точки: плоскости продолжаются бесконечно, и при пересечении их общие точки образуют прямую. Если известны две общие точки, они определяют эту прямую, поскольку через две различные точки проходит единственная прямая.

Плоскость можно задать разными наборами исходных фигур. Три неколлинеарные точки задают её по основной аксиоме; прямую вместе с точкой вне неё также можно использовать, поскольку точка не лежит на этой прямой. Ещё один способ — указать две пересекающиеся прямые: их точка пересечения и точки на каждой из них дают три точки, не лежащие на одной прямой.

Основные аксиомы о плоскостях в пространстве

Пользуйтесь таблицей как проверкой: сначала найдите условие, которое дано в задаче, а затем примените соответствующее заключение. Не переставляйте условие и вывод местами: например, принадлежность одной точки прямой плоскости ещё не доказывает, что вся прямая лежит в ней. Если плоскости различны и имеют общую точку, их пересечение описывают прямой.

Разбор задач

Задача 1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей проходит через них? Чтобы ответить, нужно проверить, совпадают ли условия задачи с условием аксиомы о задании плоскости. Здесь прямо сказано, что точки неколлинеарны.

1. Сопоставим условие задачи с аксиомой: рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой.
2. По аксиоме через такие точки проходит одна и только одна плоскость.
3. Других плоскостей, содержащих одновременно A, B и C, быть не может.

Ответ: одна плоскость.

Задача 2. Точки A и B принадлежат плоскости α, а прямая l проходит через A и B. Докажите, что l лежит в α. Важно не делать вывод только по одной общей точке: в задаче даны две различные точки прямой, и именно это позволяет применить нужную аксиому.

1. Отметим, что A и B лежат на прямой l, а по условию обе точки принадлежат плоскости α.
2. Применим аксиому: если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
3. Запишем вывод обозначением l ⊂ α.

Ответ: прямая l лежит в плоскости α.

Задача 3. Плоскости α и β имеют общую точку M. Точка N также принадлежит обеим плоскостям и отличается от M. Что можно заключить об их пересечении? Две различные общие точки дают возможность указать, через какие точки проходит линия пересечения.

1. Точки M и N принадлежат обеим плоскостям, следовательно, обе являются их общими точками.
2. По аксиоме две плоскости с общей точкой пересекаются по прямой.
3. Прямая пересечения проходит через M и N, так как обе точки принадлежат каждой плоскости.

Ответ: плоскости пересекаются по прямой MN.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что любые три точки однозначно задают плоскость. Если они лежат на одной прямой, через эту прямую можно провести много плоскостей; условие неколлинеарности часто упускают, потому что в формулировке о трёх точках на нём легко не сосредоточиться. Перед применением аксиомы проверьте, что точки действительно не лежат на одной прямой.

По принадлежности одной точки прямой плоскости нельзя заключать, что вся прямая лежит в плоскости. Для такого вывода нужны две точки прямой, принадлежащие плоскости; ошибку допускают, подменяя условие аксиомы более слабым. Проверьте, указаны ли обе точки и лежат ли они на рассматриваемой прямой.

Иногда утверждают, что две плоскости с общей точкой пересекаются только в этой точке. Так ошибочно представляют пересечение как единичное место встречи, хотя по аксиоме общей частью двух различных плоскостей служит прямая. Проверяйте, что в выводе указана линия пересечения, а не отдельная точка.

Не смешивайте обозначения A ∈ α и l ⊂ α. Первое означает, что точка A принадлежит плоскости, а второе — что вся прямая l лежит в ней; путаница возникает из-за похожего смысла слова «принадлежит». При записи вывода проверьте, о какой фигуре идёт речь: о точке или о прямой.

Связь с другими темами

Для изучения аксиом о плоскостях нужно знать, что такое точка и прямая, как обозначают принадлежность и как сравнивают взаимное расположение точек и прямых. Без этих понятий нельзя точно прочитать условие или записать вывод. Аксиомы, в свою очередь, понадобятся при доказательстве теорем стереометрии и решении задач о взаимном расположении прямых и плоскостей. Умение выделять условие аксиомы помогает строить обоснованные рассуждения вместо догадок по рисунку.

Что запомнить

• Три точки, не лежащие на одной прямой, задают единственную плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней.
• Две плоскости с общей точкой пересекаются по прямой.
• Для задания плоскости достаточно трёх неколлинеарных точек.
• Аксиомы принимают без доказательства и используют как исходные правила.
• При решении задач важно проверять условия применения каждой аксиомы.