§ 6. Свойства круговых функций

Определения и обозначения

Круговыми функциями называют синус, косинус, тангенс и котангенс, значения которых связывают с точками единичной окружности. Единичная окружность имеет радиус 1 и центр в начале координат, а аргумент x задаёт поворот от точки (1; 0). Такое определение позволяет работать с углами любой величины, в том числе отрицательными и большими 2π.

Период функции — ненулевое число T, при прибавлении которого к аргументу значение функции не меняется: f(x + T) = f(x). Если среди положительных периодов есть наименьший, его называют основным периодом. Период показывает, через какое расстояние по оси x повторяется график.

Чётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = f(x), поэтому её график симметричен относительно оси ординат. Значения при противоположных аргументах совпадают, и достаточно изучить одну сторону графика. Это свойство помогает проверять формулы и строить графики.

Нечётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = −f(x), а её график симметричен относительно начала координат. При смене знака аргумента значение тоже меняет знак. Такая симметрия позволяет восстановить часть графика по другой его части.

Как это устроено

Пусть луч, повёрнутый на угол x, пересекает единичную окружность в точке P. Тогда координаты P равны (cos x; sin x): косинус задаёт горизонтальное смещение, а синус — вертикальное. Поэтому из окружности сразу следует равенство sin² x + cos² x = 1 и ограниченность обеих координат числами −1 и 1.

Тангенс и котангенс получают делением координат: tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x. Деление возможно только при ненулевом знаменателе, поэтому тангенс не определён, когда cos x = 0, а котангенс — когда sin x = 0. У синуса и косинуса такого ограничения нет: координата существует для любой точки окружности.

После поворота на полный круг 2π точка возвращается в исходное положение, значит, обе её координаты повторяются: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x. Для тангенса и котангенса достаточно поворота на π: точка становится противоположной, и обе координаты меняют знак одновременно. Их отношения поэтому не меняются, так что основные периоды этих функций равны π.

Отражение точки окружности относительно горизонтальной оси меняет знак ординаты, но сохраняет абсциссу. Отсюда cos(−x) = cos x, а sin(−x) = −sin x; отношения координат показывают, что тангенс и котангенс тоже нечётные. Следовательно, симметрия графиков не случайна: она следует из симметрии самой окружности.

По окружности и графику можно определить, где функция положительна или отрицательна, где обращается в ноль и где меняется монотонно. Синус имеет максимум 1 при x = π/2 + 2πk и минимум −1 при x = −π/2 + 2πk; у косинуса максимум 1 при x = 2πk и минимум −1 при x = π + 2πk. Тангенс возрастает на каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk), а котангенс убывает на (πk; π + πk); на концах этих промежутков у них вертикальные асимптоты. Здесь и далее k ∈ Z.

Основные свойства круговых функций

Таблица помогает быстро сравнить функции и подобрать нужное свойство для задачи. Буква k обозначает любое целое число, поэтому формулы сразу описывают бесконечные последовательности значений. Для тангенса и котангенса прежде всего проверяйте, входит ли аргумент в область определения.

Разбор задач

Задача 1. Определите область определения функции y = tg x. Нужно найти все значения аргумента, при которых выражение имеет смысл. Удобно воспользоваться отношением тангенса к синусу и косинусу.

1. Записываем tg x = sin x / cos x, поэтому знаменатель должен быть отличен от нуля.
2. Косинус равен нулю при x = π/2 + πk, где k ∈ Z. Именно эти значения исключаем, а остальные действительные числа допустимы.

Ответ: D(y) = {x ∈ R | x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z}. Проверка проста: исключённые аргументы — это точки, в которых знаменатель исходной дроби равен нулю.

Задача 2. Найдите все решения уравнения sin x = 0 на отрезке [−2π; 2π]. Сначала запишем общее правило для нулей синуса, а затем оставим только значения из заданного отрезка. Так мы не пропустим корни и не включим лишние.

1. Синус обращается в ноль при x = πk, где k — целое число.
2. Требуем −2π ≤ πk ≤ 2π. Делим на положительное число π: −2 ≤ k ≤ 2.
3. Подставляем целые k = −2, −1, 0, 1, 2 в формулу x = πk. Получаем −2π, −π, 0, π, 2π.

Ответ: x ∈ {−2π; −π; 0; π; 2π}. Оба конца отрезка включены, поэтому корни −2π и 2π тоже входят в ответ.

Задача 3. Исследуйте y = 2 cos(3x − π/2) на чётность, периодичность и множество значений. Множитель 2 перед косинусом меняет масштаб значений, а коэффициент 3 при x влияет на период. Чётность всей функции нужно проверить отдельно, поскольку сдвиг аргумента может нарушить симметрию.

1. Используем тождество cos(α − π/2) = sin α. Тогда y = 2 sin 3x, и из диапазона синуса получаем −2 ≤ y ≤ 2.
2. Период синуса равен 2π, поэтому для sin 3x основной период T удовлетворяет 3T = 2π. Значит, T = 2π/3.
3. Проверяем чётность: f(−x) = 2 sin(−3x) = −2 sin 3x = −f(x). Функция нечётная, а не чётная.

Ответ: функция нечётная, её основной период равен 2π/3, множество значений — [−2; 2]. Преобразование аргумента перед проверкой помогло увидеть и диапазон, и симметрию.

Типичные ошибки

Иногда область определения тангенса считают всей числовой прямой. Так происходит, если забыть, что tg x — это дробь sin x / cos x, и не проверить знаменатель. Для самопроверки подставьте x = π/2: косинус равен нулю, значит, тангенс в этой точке не существует.

Период тангенса иногда принимают равным 2π, ориентируясь только на полный оборот точки окружности. Но при прибавлении π обе координаты меняют знак и их отношение сохраняется. Проверьте формулой tg(x + π) = tg x: это показывает, что π уже является периодом, причём основным.

Синус и косинус путают по чётности, запоминая симметрию неточно. Проверяйте не рисунок по памяти, а равенства: sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x. Тем же способом видно, что тангенс и котангенс нечётные.

Для тангенса и котангенса иногда ищут максимумы и минимумы, как для синуса и косинуса. Эти функции не ограничены и около вертикальных асимптот уходят сколь угодно далеко вверх или вниз, поэтому конечных экстремумов у них нет. На графике проверяйте, не пересекает ли рассматриваемый промежуток асимптоту: в точках разрыва экстремум не возникает.

Связь с другими темами

Для изучения круговых функций нужны понятия единичной окружности и радианной меры угла, а также значения синуса и косинуса основных углов. Координатный способ задания помогает понять свойства функций, не заучивая их отдельно. Дальше эти свойства используют при преобразовании графиков и решении тригонометрических уравнений и неравенств. Знание периодов и симметрии позволяет сводить бесконечное множество случаев к одному промежутку.

Что запомнить

• Область определения синуса и косинуса — все действительные числа.
• Тангенс не определён при x = π/2 + πk, котангенс — при x = πk, где k — целое число.
• Основные периоды синуса и косинуса равны 2π, тангенса и котангенса — π.
• Косинус — чётная функция; синус, тангенс и котангенс — нечётные.
• Значения синуса и косинуса принадлежат отрезку [−1; 1].
• Тангенс и котангенс принимают любые действительные значения.