§ 5. Обратные тригонометрические функции

Определения и обозначения

Обратная тригонометрическая функция по значению синуса, косинуса, тангенса или котангенса возвращает угол. Она нужна, когда известна величина функции, а найти требуется сам угол. Чтобы ответ был единственным, исходную функцию рассматривают на специально выбранном промежутке.

Арксинус числа x, arcsin x, — это угол из [−π/2; π/2], синус которого равен x. Он существует только при |x| ≤ 1, потому что синус не выходит за пределы отрезка [−1; 1]. Запись arcsin(½) означает угол π/6, а не дробь, обратную синусу.

Арккосинус числа x, arccos x, — угол из [0; π], косинус которого равен x. Условие существования такое же: |x| ≤ 1. Промежуток [0; π] закрепляют за arccos, чтобы один и тот же косинус не давал несколько ответов.

Арктангенс и арккотангенс обозначают соответственно arctg x и arcctg x. Это углы из выбранных промежутков, тангенс или котангенс которых равен x: обычно arctg x ∈ (−π/2; π/2), а arcctg x ∈ (0; π). В отличие от arcsin и arccos, они определены для любого действительного числа.

Как это устроено

На всей числовой прямой синус и косинус повторяются и принимают одно значение во многих точках, поэтому взаимно однозначными они не являются. Например, синус углов π/6 и 5π/6 одинаков. На отрезке [−π/2; π/2] синус возрастает от −1 до 1, а на [0; π] косинус убывает от 1 до −1, поэтому там каждому значению соответствует ровно один угол.

Для тангенса и котангенса выбирают промежутки без разрывов. На (−π/2; π/2) тангенс непрерывно возрастает и принимает все действительные значения, а на (0; π) котангенс непрерывно убывает от +∞ к −∞. Значит, для каждого действительного x можно однозначно найти arctg x и arcctg x.

Выбранный промежуток становится областью значений обратной функции. Поэтому arcsin принимает значения в [−π/2; π/2], arccos — в [0; π], arctg — в (−π/2; π/2), а arcctg — в (0; π). Эти границы помогают выбрать правильный угол, если одинаковое значение тригонометрической функции встречается несколько раз.

Равенства sin(arcsin x) = x и cos(arccos x) = x верны для всех допустимых x, потому что сначала выбирается допустимое число, а затем возвращается его значение. Обратные записи arcsin(sin x) = x и arccos(cos x) = x требуют, чтобы исходный угол уже лежал в закреплённом промежутке. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x: координаты каждой точки меняются местами.

Обратные тригонометрические функции

В таблице сначала находите нужную функцию, затем проверяете область определения и область значений. Строка «Связь с исходной функцией» напоминает, на каком промежутке выбирается обычная тригонометрическая функция. По строке «Монотонность» можно понять, почему обратная функция существует однозначно.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите arcsin(½), arccos(−½), arctg(1).

Для каждого значения нужно вспомнить известный угол. Затем проверяем, попадает ли он в область значений соответствующей обратной функции. Это особенно важно для arccos, поскольку один и тот же косинус имеют разные углы.

1. Синус π/6 равен ½, и π/6 ∈ [−π/2; π/2], поэтому arcsin(½) = π/6.
2. Косинус 2π/3 равен −½, причём 2π/3 ∈ [0; π], поэтому arccos(−½) = 2π/3.
3. Тангенс π/4 равен 1, а π/4 ∈ (−π/2; π/2), поэтому arctg(1) = π/4.

Ответ: π/6; 2π/3; π/4. Каждый результат лежит в стандартном промежутке своей функции.

Задача 2. Упростите sin(arcsin(−0,4)) + cos(arccos(0,7)).

Здесь не требуется находить сами углы. Внешние синус и косинус отменяют действие соответствующих обратных функций, если аргументы допустимы. Числа −0,4 и 0,7 принадлежат отрезку [−1; 1], поэтому равенства можно применять.

1. По формуле sin(arcsin x) = x получаем sin(arcsin(−0,4)) = −0,4.
2. По формуле cos(arccos x) = x получаем cos(arccos(0,7)) = 0,7.
3. Складываем результаты: −0,4 + 0,7 = 0,3.

Ответ: 0,3. Проверка области определения подтверждает, что оба преобразования допустимы.

Задача 3. Решите уравнение arcsin(2x − 1) = π/6.

Аргумент арксинуса должен принадлежать [−1; 1]. После этого можно применить синус к обеим частям, поскольку правая часть уже находится в области значений arcsin. Полученное линейное уравнение даст ответ, который нужно сопоставить с ограничением.

1. Применяем синус: 2x − 1 = sin(π/6) = ½.
2. Решаем уравнение: 2x = 3/2, откуда x = 3/4.
3. Проверяем область определения: 2 · 3/4 − 1 = 1/2 ∈ [−1; 1]. Ограничение выполнено.

Ответ: x = 3/4. Подстановка возвращает arcsin(½) = π/6.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что arcsin(sin x) = x при любом x. Её допускают, забывая, что arcsin возвращает только угол из [−π/2; π/2]. Проверка проста: сначала сравните исходный угол с этим промежутком.

Ошибка: применять arcsin или arccos к числу вне [−1; 1]. Причина — механическое использование формулы без проверки допустимых значений. Подставьте аргумент в условие −1 ≤ x ≤ 1 до преобразований.

Ошибка: путать arcsin x и 1/sin x. Похожая запись создаёт впечатление, будто речь идёт об обратной величине, хотя arcsin x обозначает угол. Проверьте смысл: результат арксинуса измеряется в радианах или градусах.

Ошибка: искать arccos в промежутке [−π/2; π/2]. Так выбирают угол для arcsin, но для arccos принят промежуток [0; π]. При ответе проверьте и значение косинуса, и принадлежность угла нужному промежутку.

Связь с другими темами

Перед изучением обратных функций нужны области определения и значения, периодичность и монотонность синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Именно эти свойства объясняют выбор стандартных промежутков. Без них трудно правильно определить допустимые аргументы и выбрать единственный угол.

Обратные тригонометрические функции применяются при решении тригонометрических уравнений и неравенств. Они позволяют выразить угол через известное значение функции, но требуют учёта области значений. Поэтому при решении важно проверять не только вычисления, но и промежуток ответа.

Эта тема пригодится при нахождении углов по значениям тригонометрических функций. Позже обратные функции встречаются при изучении производных, где область определения и выбранный промежуток также имеют значение.

Что запомнить

• arcsin x определён при −1 ≤ x ≤ 1 и принимает значения в [−π/2; π/2].
• arccos x определён при −1 ≤ x ≤ 1 и принимает значения в [0; π].
• arctg x определён при любом действительном x и принимает значения в (−π/2; π/2).
• Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции на выбранном промежутке.
• Для обратной функции область значений становится областью определения исходной функции.
• При упрощении композиции обратной и исходной функций проверяйте выбранный промежуток.