§ 1. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a·b = |a||b|cosφ. Здесь |a| и |b| обозначают длины, а φ — угол между векторами. Результат является числом, потому что и длины, и косинус — скалярные величины. Эта операция помогает связать направление векторов с вычислениями.

Угол между ненулевыми векторами — меньший угол между лучами, сонаправленными с этими векторами и имеющими общее начало. Сонаправленный луч показывает то же направление, что и вектор, независимо от того, где вектор был изображён. Поэтому угол можно определить даже у векторов, расположенных в разных местах. Он принимает значения от 0° до 180°.

Ортогональные векторы — ненулевые векторы, угол между которыми равен 90°. Косинус прямого угла равен нулю, поэтому их скалярное произведение также равно нулю. Термин «ортогональные» означает перпендикулярные; он удобен, когда нужно выразить это свойство через вычисления. Нулевой вектор отдельно не включают в определение угла между векторами.

Координатная формула скалярного произведения вычисляет его как сумму произведений соответствующих координат. На плоскости для a = (a₁; a₂) и b = (b₁; b₂) имеем a·b = a₁b₁ + a₂b₂, а в пространстве добавляется слагаемое a₃b₃. Формула позволяет работать с векторами, не строя их и не находя угол отдельно. Нужно перемножать координаты по одинаковым осям, а затем складывать результаты.

Как это устроено

В определении нет направления результирующего объекта: длина каждого вектора — число, как и значение косинуса угла. Их произведение тоже является числом, поэтому скалярное произведение отличается от векторного, результат которого задаётся вектором. Умножение на косинус учитывает взаимное расположение векторов, а не только их размеры. Если изменить угол, длины останутся прежними, но результат может измениться и даже поменять знак.

Знак произведения определяется косинусом: длины ненулевых векторов всегда положительны. Для острого угла косинус положителен, для 90° он равен нулю, а для тупого угла отрицателен. Поэтому знак произведения позволяет судить о виде угла, не вычисляя его величину. Например, отрицательный результат сразу указывает на тупой угол между ненулевыми векторами.

Геометрическую формулу можно понять через проекцию. Проекция вектора a на направление b показывает, какую часть a составляет вдоль этого направления; её величина с учётом знака равна |a|cosφ. Умножив эту величину на |b|, получаем |a||b|cosφ, то есть a·b. Так становится понятно, почему вклад вектора, направленного почти поперёк b, мал, а направленного противоположно — отрицателен.

Координатная формула получается из геометрического определения в прямоугольной системе координат. Представьте каждый вектор как сумму составляющих вдоль осей: на плоскости a = (a₁; a₂), b = (b₁; b₂). Составляющие вдоль одной оси дают произведения a₁b₁ и a₂b₂, а перекрёстные составляющие имеют нулевое произведение, потому что оси перпендикулярны. В пространстве рассуждение такое же, только появляется третья ось и слагаемое a₃b₃.

Свойства произведения превращают геометрические вопросы в вычисления. Поскольку a·a = |a||a|cos0° = |a|², длину находят как |a| = √(a·a); угол — через cosφ = (a·b)/(|a||b|). Перпендикулярность проверяют равенством a·b = 0, если оба вектора ненулевые. Переместительное и распределительное свойства позволяют менять порядок множителей и раскрывать произведение суммы на слагаемые.

Основные формулы и свойства скалярного произведения

Выбирайте строку таблицы по данным задачи: угол и длины подходят для геометрической формулы, координаты — для координатной. Если требуется длина, угол или перпендикулярность, используйте соответствующее свойство. Скалярный множитель и распределительное свойство упрощают выражения перед вычислением.

Разбор задач

Задача 1

Даны векторы a и b длинами 6 и 4, угол между ними равен 60°. Найдите их скалярное произведение. Известны все данные для геометрического определения, поэтому координаты вводить не нужно. Подставим длины и косинус указанного угла.

1. Записываем формулу: a·b = |a||b|cosφ.
2. Подставляем значения: a·b = 6·4·cos60°.
3. Так как cos60° = ½, получаем 24·½ = 12.

Ответ: a·b = 12. Положительный знак согласуется с тем, что угол 60° острый. Это служит дополнительной проверкой вычисления.

Задача 2

Даны a = (2; −1; 3) и b = (1; 4; −2). Найдите скалярное произведение и определите, острый или тупой угол между векторами. Здесь удобнее применить координатную формулу, потому что координаты обоих векторов известны. После вычисления знак результата укажет вид угла.

1. Перемножаем соответствующие координаты и складываем: a·b = 2·1 + (−1)·4 + 3·(−2).
2. Вычисляем слагаемые: 2 − 4 − 6 = −8.
3. Получаем отрицательное число; следовательно, косинус угла отрицателен, а угол тупой.

Ответ: a·b = −8, угол между векторами тупой. Отрицательные координаты нельзя пропускать или заменять положительными: каждая из них участвует в произведении со своим знаком. Проверка знака помогает избежать вывода об остром угле.

Задача 3

Найдите p, если a = (p; 2; −1) и b = (3; −1; 4) перпендикулярны. Вместо вычисления угла воспользуемся тем, что произведение перпендикулярных ненулевых векторов равно нулю. Координатная формула даст уравнение с неизвестным p.

1. Записываем условие перпендикулярности: a·b = 0.
2. Подставляем координаты: 3p + 2·(−1) + (−1)·4 = 0.
3. Упрощаем: 3p − 2 − 4 = 0, значит 3p = 6 и p = 2.

Ответ: p = 2. Подстановка даёт скалярное произведение 3·2 − 2 − 4 = 0, значит найденное значение удовлетворяет условию. Такой контроль полезен при решении уравнений с параметром.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить только длины и забыть cosφ. Так поступают, перенося привычное умножение чисел на векторы и не учитывая их направления. Проверьте, что в записи есть угол или его косинус; без него значение обычно неверно. Например, при прямом угле произведение должно быть нулём, а произведение длин — нет.

Вторая ошибка — записать результат скалярного произведения в виде вектора. Причина часто в смешении скалярного и векторного произведений, названия которых похожи. Проверка проста: формула |a||b|cosφ состоит из чисел и даёт число. Записывайте ответ без стрелки над ним и без координат.

Третья ошибка — получить положительный знак при тупом угле. Косинус тупого угла отрицателен, поэтому положительные длины не могут изменить этот знак. Сверьте ответ с известным видом угла: для тупого результата должно быть меньше нуля, для прямого — ноль. При вычислении косинуса не заменяйте его модулем.

Четвёртая ошибка — неверно перемножить координаты или сложить не все слагаемые. Это происходит, если перепутать координаты разных осей, забыть знак минус или пропустить третье слагаемое в пространстве. Записывайте произведения попарно: первая координата с первой, вторая со второй и так далее. Затем отдельно проверьте каждое слагаемое и их сумму.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны длина и координаты вектора, понятие угла, а также значения синуса и косинуса основных углов. Если эти понятия знакомы, геометрическую формулу можно применять сразу, а координатную — использовать для вычислений. Скалярное произведение, в свою очередь, помогает находить углы и расстояния и проверять перпендикулярность прямых и плоскостей. Оно связано с ортогональными проекциями и методом координат, поэтому часто встречается в задачах о прямых и плоскостях в пространстве.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a·b = |a||b|cosφ.
• При остром угле скалярное произведение положительно, при прямом равно нулю, при тупом отрицательно.
• В координатах произведения соответствующих координат складывают.
• Вектор перпендикулярен ненулевому вектору тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• a·a = |a|².
• Скалярное произведение является переместительным и распределительным.