§ 4. Наибольшие и наименьшие значения

Определения и обозначения

Наибольшее значение функции на множестве — это такое значение, которое не меньше любого другого значения функции на данном множестве. Если f(x) ≤ M для всех допустимых x и при некотором x функция равна M, то M — наибольшее значение. Оно показывает верхнюю границу результата в заданных условиях.

Наименьшее значение функции на множестве — значение, которое не больше всех остальных значений функции на этом множестве. Иными словами, f(x) ≥ m для каждого допустимого x, а в некоторой точке достигается равенство. Такое число описывает самый маленький возможный результат.

Точка максимума функции — внутренняя точка области определения, в которой значение функции больше значений во всех достаточно близких точках. Это локальное сравнение, поэтому максимум в такой точке может не быть самым большим на всей области. Понятие помогает находить места подъёма графика.

Точка минимума функции — внутренняя точка области определения, в которой значение функции меньше значений в достаточно близких точках. Она соответствует локальной впадине графика. Точка максимума или минимума является аргументом x, а не самим значением функции.

Как это устроено

Непрерывная функция на отрезке достигает и наибольшего, и наименьшего значений по теореме Вейерштрасса. Замкнутый отрезок содержит свои концы, а непрерывность не позволяет графику совершить скачок через предполагаемый предельный уровень. Поэтому искомые значения действительно существуют, а не только приближаются к некоторым числам.

Если функция дифференцируема и имеет экстремум во внутренней точке, то касательная к графику в этой точке горизонтальна. Её угловой коэффициент равен производной, поэтому f′(x) = 0. Такие точки называют стационарными, но само равенство нулю ещё не доказывает наличие максимума или минимума.

На отрезке кандидатами служат его левый и правый концы, внутренние стационарные точки и внутренние точки, где производная не существует. Причина такого списка в том, что экстремум может возникнуть либо на границе допустимой области, либо внутри неё при горизонтальной касательной, либо в угловой точке графика. Других вариантов для непрерывной функции на отрезке не требуется проверять.

После составления списка нужно вычислить значение функции в каждом кандидате и сравнить полученные числа. Наибольшее из них будет абсолютным максимумом, а наименьшее — абсолютным минимумом на отрезке. Локальный экстремум внутри отрезка может оказаться слабее значения на одном из концов, поэтому останавливаться на первой найденной стационарной точке нельзя.

В прикладной задаче сначала выбирают переменную, например длину стороны, и определяют, какие значения она может принимать. Затем целевую величину выражают через эту переменную и исследуют полученную функцию на допустимом промежутке. Так поиск оптимального размера, площади или стоимости превращается в обычную задачу на максимум или минимум.

Кандидаты на наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Таблица помогает составить полный список точек, которые нельзя пропустить. Сначала находят все внутренние критические точки, затем добавляют концы отрезка. После этого сравнивают значения функции, а не только координаты точек.

Разбор задач

1. Квадратичная функция на отрезке

Найти наибольшее и наименьшее значения f(x) = x² − 4x + 1 на отрезке [0; 5]. Нужно проверить не только вершину параболы, но и оба конца, потому что ищется абсолютный экстремум на всём отрезке.

1. Найдём производную: f′(x) = 2x − 4.
2. Решим 2x − 4 = 0: x = 2. Точка 2 лежит внутри отрезка.
3. Вычислим значения: f(0) = 1, f(2) = −3, f(5) = 6.
4. Сравним результаты: наименьшее значение равно −3, наибольшее — 6.

Ответ: минимум −3 достигается при x = 2; максимум 6 достигается при x = 5.

2. Функция с переменной в знаменателе

Найти наибольшее и наименьшее значения f(x) = x + 4/x на отрезке [1; 5]. Производная существует на всём этом отрезке, но её нуль может дать внутренний кандидат.

1. Найдём производную: f′(x) = 1 − 4/x².
2. Решим 1 − 4/x² = 0: x² = 4, откуда x = 2 или x = −2. В отрезок входит только x = 2.
3. Подставим кандидатов: f(1) = 5, f(2) = 4, f(5) = 29/5.
4. Сравнение показывает: минимум равен 4, максимум равен 29/5.

Ответ: минимум 4 при x = 2; максимум 29/5 при x = 5.

3. Оптимизация площади

Прямоугольник имеет периметр 20 см, поэтому его стороны можно обозначить x и 10 − x. Нужно найти размеры с наибольшей площадью, учитывая, что обе стороны должны быть положительными.

1. Допустимый промежуток: 0 < x < 10.
2. Площадь S(x) = x(10 − x) = 10x − x².
3. S′(x) = 10 − 2x, поэтому стационарная точка: x = 5.
4. S(5) = 25, а стороны равны 5 см и 5 см. Это квадрат и его площадь максимальна.

Ответ: размеры прямоугольника 5 см × 5 см, наибольшая площадь — 25 см².

Типичные ошибки

Проверяют только f′(x) = 0. Так забывают, что абсолютный экстремум может находиться на конце отрезка, ведь конец не является внутренней точкой. Проверяйте себя: в итоговом списке должны быть оба конца и все подходящие внутренние точки.

Считают условие f′(x) = 0 обязательным для любого экстремума. Такое условие работает только при существовании производной во внутренней точке. Если график имеет угол, найдите точки недифференцируемости и проверьте их отдельно.

Любую стационарную точку объявляют максимумом или минимумом. Горизонтальная касательная может быть, например, в точке перегиба, где экстремума нет. Проверка состоит в вычислении значений во всех кандидатах и их сравнении.

Путают точку и значение. Точка экстремума — это x, а значение функции — число f(x), то есть координата y. Чтобы ответ был полным, указывайте оба: где достигается результат и чему он равен.

Связь с другими темами

Для поиска экстремумов нужны производная функции, правила дифференцирования и умение решать уравнение f′(x) = 0. Без этих навыков трудно составить список стационарных точек и исследовать функцию.

Метод опирается на понятие непрерывности и теорему о достижении непрерывной функцией наибольшего и наименьшего значений на отрезке. Именно она объясняет, почему проверка конечного списка кандидатов даёт результат.

Дальше этот подход применяется в задачах на оптимизацию. С его помощью находят наибольшую площадь, минимальные затраты, оптимальные размеры и другие величины, описанные функцией.

Что запомнить

• Непрерывная функция на отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений.
• Внутренняя точка экстремума дифференцируемой функции является стационарной.
• На отрезке проверяют оба конца и все внутренние критические точки.
• Критическими могут быть точки, где производная равна нулю или не существует.
• Абсолютные максимум и минимум находят сравнением значений функции во всех кандидатах.
• Точка, где достигается экстремум, и значение функции в этой точке — разные величины.