"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
График функции показывает, как каждому значению аргумента x соответствует значение y = f(x). С его помощью находят значения функции, нули, промежутки изменения и точки пересечения с осями. Чтобы построить сложный график, обычно преобразуют известный базовый график: сдвигают его, растягивают, сжимают или отражают. Главное — правильно отслеживать координаты характерных точек и область определения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения. По графику значение функции находят как ординату точки с нужной абсциссой. Нули функции — это значения x, при которых график пересекает ось Ox.
Параллельный перенос графика — перемещение всех его точек на один и тот же вектор. В формуле y = f(x) + b график сдвигается вертикально, а в формуле y = f(x − a) — горизонтально. Такое преобразование сохраняет форму графика, но меняет положение его характерных точек.
Растяжение и сжатие графика изменяют расстояния между точками и координатными осями. Множитель перед функцией меняет ординаты, а множитель при аргументе — абсциссы. Эти правила помогают быстро построить новый график без вычисления большого количества точек.
Симметрия графика означает отражение точек относительно оси или начала координат. Формула y = −f(x) задаёт отражение относительно оси Ox, а y = f(−x) — относительно оси Oy. По изменившейся координате легко определить, какое именно отражение выполнено.
Построение начинают с выбора известного базового графика: например, y = x², y = |x| или y = 1/x. Затем определяют область определения новой функции, потому что преобразование не должно добавлять недопустимые значения аргумента. После этого отмечают несколько характерных точек и изменяют их координаты по правилам преобразований.
В формуле y = f(x) + b к каждому значению функции прибавляется одно и то же число b. Поэтому каждая точка получает новую ординату y + b, а абсцисса остаётся прежней. При b > 0 график поднимается вверх, при b < 0 — опускается вниз.
В формуле y = f(x − a) прежнее значение функции получается тогда, когда x − a равно старому аргументу. Значит, новая абсцисса становится равной старой плюс a, а ордината не меняется. Поэтому при a > 0 график сдвигается вправо, хотя в скобках стоит знак минус.
Множитель перед функцией действует на ординаты: в y = kf(x) точка (x; y) переходит в (x; ky). Множитель при аргументе действует иначе: в y = f(kx) для получения прежнего значения нужно взять новый аргумент x = x₀/k. Поэтому горизонтальный масштаб меняется в 1/|k| раз: при |k| > 1 происходит сжатие, а при 0 < |k| < 1 — растяжение.
Несколько преобразований выполняют последовательно, каждый раз отслеживая координаты точек. Например, сначала можно выполнить горизонтальный сдвиг, затем вертикальный, а после этого растяжение или отражение. В конце проверяют область определения, множество значений, вершины, нули и асимптоты, если они есть.
| Формула | Изменение графика | Изменение координат точки (x; y) |
|---|---|---|
| y = f(x) + b | Сдвиг вверх на b при b > 0 или вниз на |b| при b < 0 | (x; y) → (x; y + b) |
| y = f(x − a) | Сдвиг вправо на a при a > 0 или влево при a < 0 | (x; y) → (x + a; y) |
| y = kf(x) | Растяжение по вертикали при |k| > 1, сжатие при 0 < |k| < 1; при k < 0 ещё и отражение относительно Ox | (x; y) → (x; ky) |
| y = f(kx) | Сжатие по горизонтали в |k| раз при |k| > 1 или растяжение при 0 < |k| < 1 | (x; y) → (x/k; y) |
| y = −f(x) или y = f(−x) | Отражение относительно оси Ox или оси Oy | (x; y) → (x; −y) или (−x; y) |
Таблицей удобно пользоваться как инструкцией: сначала узнайте, какая часть формулы изменилась, а затем примените соответствующее изменение координат. Если в формуле несколько преобразований, таблица помогает выполнять их по очереди. Для контроля достаточно проверить одну-две известные точки базового графика.
Условие: построить график функции y = (x − 2)² + 1, используя график y = x². Базовая парабола имеет вершину (0; 0) и ось симметрии x = 0.
Ответ: парабола направлена вверх, её вершина — (2; 1), ось симметрии — x = 2.
Условие: построить график y = −2|x + 1| и указать область определения и множество значений. За основу берём график y = |x| с вершиной в начале координат.
Ответ: область определения — все действительные числа, множество значений — y ≤ 0.
Условие: построить график y = 1/(x − 2) + 1 и найти точки пересечения с координатными осями. Исходный график y = 1/x имеет асимптоты x = 0 и y = 0.
Ответ: асимптоты — x = 2 и y = 1; пересечения с осями — (0; ½) и (1; 0).
График y = f(x − a) иногда сдвигают влево при a > 0. Ошибка появляется из-за механического восприятия знака в скобках. Проверьте точку, где аргумент базовой функции равен нулю: её новая абсцисса увеличится на a.
В выражении y = f(kx) график нередко растягивают в |k| раз вместо сжатия. Причина в том, что множитель стоит внутри аргумента и новая абсцисса равна старой, делённой на k. Возьмите любую точку базового графика и вычислите её новую абсциссу.
Преобразования y = −f(x) и y = f(−x) путают, потому что в обоих формулах есть минус. В первом случае меняется ордината и происходит отражение относительно Ox, во втором меняется абсцисса и отражение идёт относительно Oy. Сравните координаты произвольной точки до и после преобразования.
После преобразования иногда сохраняют прежние область определения, вершину или асимптоты. Так происходит, если строят только общую форму графика и не отслеживают его точки. Выпишите ограничения на x и отдельно перенесите каждую характерную точку или асимптоту.
Для построения графиков нужны навыки чтения координатной плоскости, нахождения области определения и множества значений, а также знание основных функций. Преобразования связаны с чётностью и нечётностью функций и свойствами квадратичной, показательной, логарифмической функций и обратной пропорциональности. Эти умения применяют при исследовании функций, графическом решении уравнений и неравенств, а также при построении графиков производных.
Почему график y = f(x − 3) сдвигается вправо, а не влево?
Чтобы получить прежнее значение f(x), нужно взять аргумент x − 3 равным прежнему x. Поэтому новая абсцисса должна быть на 3 больше старой: точка (x; y) переходит в (x + 3; y).
Как понять, в каком порядке выполнять несколько преобразований?
Сначала удобно разобрать формулу по частям и применять преобразования в том порядке, в котором они действуют на базовую функцию. После каждого шага проверяйте координаты вершины, нули, область определения и другие характерные точки.
Чем отличаются графики y = −f(x) и y = f(−x)?
В первом случае меняются знаки ординат: график отражается относительно оси Ox. Во втором меняются знаки абсцисс, поэтому отражение происходит относительно оси Oy.
Как изменится график, если умножить аргумент на число больше единицы?
В графике y = f(kx) при |k| > 1 абсциссы исходных точек делятся на |k|. Поэтому график сжимается к оси Oy в |k| раз; при отрицательном k добавляется отражение относительно оси Oy.
Как проверить, правильно ли перенесены асимптоты и характерные точки?
Примените к каждой исходной точке то же преобразование координат, что и к графику. Для асимптот отдельно определите, как изменились их уравнения, а затем подставьте несколько простых значений x в новую функцию.
§ 3. Построение графиков функции
