§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами

Определения и обозначения

Уравнение фигуры — равенство с координатами x и y, которому удовлетворяют координаты всех точек фигуры и только этих точек. Например, равенство для прямой выполняется у каждой её точки, но не у точек вне прямой. Это определение помогает проверять принадлежность: достаточно подставить координаты точки в равенство.

Неравенство, задающее фигуру, — условие на координаты точки, множество решений которого образует область или часть плоскости. Так, неравенство может описывать точки по одну сторону от прямой или внутри окружности. Оно нужно, когда рассматривается не только линия-граница, но и пространство вокруг неё.

Система уравнений и неравенств — несколько условий, которым координаты точки должны удовлетворять одновременно. Например, точка может одновременно находиться внутри круга и в заданной полуплоскости. Система позволяет описать общую часть нескольких фигур или областей.

Множество решений — все точки координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному условию. Если условие записано уравнением или неравенством, множество решений показывает, какую именно фигуру нужно изобразить. Это связывает алгебраическую запись с геометрическим рисунком.

Как это устроено

Чтобы понять, принадлежит ли точка фигуре, координаты точки подставляют вместо x и y в уравнение. Если получается верное равенство, координаты подходят, значит, точка лежит на заданной фигуре. Если равенство неверно, точка не входит в множество решений. Например, подстановка превращает общий вопрос о расположении точки в конкретную проверку вычислений.

Условие F(x,y) = 0 обычно выделяет границу, потому что равенство выполняется лишь там, где выражение обращается в ноль. По разные стороны этой границы выражение часто имеет разные знаки: одно неравенство F(x,y) > 0 выбирает точки с положительным значением, другое, F(x,y) < 0, — с отрицательным. Поэтому неравенства задают одну из частей плоскости, а равенство отделяет эти части друг от друга.

Уравнение ax + by + c = 0 задаёт прямую: координаты каждой её точки связаны этим линейным равенством. Для окружности расстояние от точки (x; y) до центра (a; b) постоянно и равно R. По формуле расстояния это записывается как (x − a)² + (y − b)² = R²; если центр в начале координат, запись упрощается до x² + y² = R².

Когда заданы несколько условий, точка должна удовлетворять каждому из них, а не просто одному. Значит, нужно оставить только те точки, которые входят во все описанные множества одновременно: это их пересечение. Например, при системе двух неравенств часть области, подходящая только под первое, не является решением всей системы.

Чтобы выбрать нужную сторону границы, берут пробную точку, которая на границе не лежит, и подставляют её координаты в выражение. Если полученный знак соответствует неравенству, пробная точка и её область подходят; если нет — выбирают другую сторону. Например, для x ≥ 0 можно проверить точку (1; 0): она удовлетворяет условию, поэтому подходит правая полуплоскость. Пробная точка нужна именно вне границы, иначе выражение может обратиться в ноль и не показать, какой знак получается по сторонам.

Основные способы задания фигур уравнениями и неравенствами

Сначала сопоставьте выражение с видом уравнения или неравенства, затем определите центр и радиус, если речь идёт об окружности. После этого обратите внимание на знак: он показывает, включена ли внутренняя или внешняя часть и входит ли граница в ответ.

Последняя строка относится к нескольким условиям: нужно изобразить каждое по отдельности и оставить общую часть. Для строгих неравенств граница не входит, а для нестрогих входит.

Разбор задач

Задача 1. Определить, принадлежит ли точка A(2; 1) прямой 3x − y − 5 = 0, и найти пересечения этой прямой с координатными осями. Проверка точки и поиск пересечений — два применения подстановки: сначала подставляем обе координаты, а затем учитываем, что на осях одна из координат равна нулю.

1. Подставим координаты A: 3 · 2 − 1 − 5 = 0. Получилось верное равенство, значит, A принадлежит прямой.
2. На оси Ox координата y равна нулю. Подставим y = 0: 3x − 5 = 0, откуда x = 5/3; точка пересечения — (5/3; 0).
3. На оси Oy координата x равна нулю. Тогда −y − 5 = 0, откуда y = −5; точка пересечения — (0; −5).

Ответ: A лежит на прямой; пересечения с осями — (5/3; 0) и (0; −5). Подстановка здесь важна тем, что каждую координатную ось можно задать дополнительным условием x = 0 или y = 0.

Задача 2. Описать фигуру (x − 1)² + (y + 2)² ≤ 9 и проверить точки A(1; 0) и B(5; −2). Сначала распознаём форму уравнения круга, а затем проверяем, выполняется ли неравенство для каждой точки. Знак ≤ подсказывает, что граница включена.

1. Сравним выражение с (x − a)² + (y − b)² ≤ R². Получаем центр (1; −2) и радиус 3; это круг.
2. Для A: (1 − 1)² + (0 + 2)² = 4, а 4 ≤ 9. Значит, A принадлежит кругу.
3. Для B: (5 − 1)² + (−2 + 2)² = 16, а 16 ≤ 9 неверно. Значит, B кругу не принадлежит.

Ответ: круг с центром (1; −2) и радиусом 3; A принадлежит, B не принадлежит. Сравнение квадратов расстояний с 9 позволяет сделать вывод без извлечения квадратного корня.

Задача 3. Изобразить и описать область, заданную системой x² + y² ≤ 4, y ≥ x, x ≥ 0. Решать её удобно по частям: сначала определить круг, затем каждую полуплоскость, а после — оставить общую область. Все знаки нестрогие, поэтому точки на границах включаются.

1. x² + y² ≤ 4 задаёт круг радиуса 2 с центром в начале координат. Его граница — окружность x² + y² = 4.
2. Условие y ≥ x задаёт полуплоскость по сторону от прямой y = x, где y не меньше x. Точка (0; 1) проверяет эту сторону: 1 ≥ 0.
3. Условие x ≥ 0 задаёт правую полуплоскость, включая ось Oy. Пересекаем её с выбранной полуплоскостью и кругом.

Ответ: часть круга радиуса 2, лежащая справа от оси Oy и со стороны прямой y = x, где y ≥ x; дуга и прямолинейные границы включены. Система не позволяет взять всю каждую область по отдельности — подходят лишь точки, общие для них.

Типичные ошибки

• Считать уравнение окружности уравнением всего круга. Равенство фиксирует расстояние до центра и поэтому описывает только окружность; путаница возникает из-за того, что круг включает её линию. Проверьте запись: для круга расстояние не должно превышать радиус, значит, используют знак ≤.
• Неверно выбирать сторону неравенства. По одному виду границы не всегда очевидно, какая полуплоскость подходит. Подставьте пробную точку вне границы и проверьте знак выражения; при необходимости проверьте точку с другой стороны.
• Забывать о границах или включать их без основания. Строгие знаки < и > не включают точки, где достигается равенство, а знаки ≤ и ≥ включают. Сверьте ответ со знаком исходного условия и отдельно проверьте точки на границе.
• Объединять области в системе вместо пересечения. Так можно оставить точки, которые удовлетворяют только одному условию. Спросите себя, выполняются ли у каждой выбранной точки все условия сразу; если нет, нужна более узкая общая часть.

Связь с другими темами

Для работы с координатными условиями нужны координаты точек, уравнения прямой и окружности, а также представление о координатных осях и полуплоскостях. Связь с алгеброй проявляется в решении уравнений и неравенств с двумя переменными: их решения можно изображать как точки плоскости. Дальше этот способ пригодится в аналитической геометрии, при построении областей допустимых значений и решении задач на координатной плоскости.

Что запомнить

• Фигура задаётся множеством точек, координаты которых удовлетворяют условию.
• Уравнение фигуры задаёт точки границы или саму фигуру.
• Неравенство обычно задаёт область по одну сторону от границы.
• Пробная точка помогает определить нужную область.
• Система условий задаёт пересечение соответствующих множеств.
• Строгие неравенства не включают границу, нестрогие включают её.