24.5. Решение простейших задач стереометрии в координатах

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные оси с общим началом O. Оси обычно обозначают Ox, Oy и Oz, а их положительные направления задают стрелками. Согласованный выбор направлений помогает однозначно записывать координаты и не путать знаки.

Координаты точки — три числа, определяющие её положение относительно координатных плоскостей и осей. Запись A(x; y; z) означает, что у точки A координата x по оси Ox, y по Oy, z по Oz. Эти числа нужны, чтобы вместо описания положения словами выполнять точные вычисления.

Координатный метод — способ решать геометрические задачи, введя координаты и используя вычисления. Геометрические условия, например равенство отрезков, записывают как равенства выражений с координатами. Метод полезен, когда свойства фигуры можно свести к формулам и уравнениям.

Расстояние между точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Если известны координаты концов, длину находят по разностям координат вдоль каждой оси. Благодаря этому расстояние можно вычислить даже тогда, когда отрезок не лежит в одной координатной плоскости.

Как это устроено

Сначала выбирают систему координат и обозначают координаты важных точек. Если расположить оси вдоль рёбер многогранника или осей его симметрии, часть координат окажется нулевой, а остальные будут простыми числами. Это уменьшает число неизвестных и снижает риск громоздких вычислений. Поэтому выбор координат — не формальность, а способ заранее упростить задачу.

Положение точки описывают тремя координатами, потому что в пространстве есть три независимых направления. Можно представить путь от начала координат к точке как последовательное смещение вдоль Ox, Oy и Oz. Каждое смещение отвечает своей координате, а их сочетание приводит ровно к заданной точке. Если оставить только две координаты, положение в третьем направлении останется неопределённым.

Формула расстояния получается из теоремы Пифагора. В плоскости для двух координат квадрат длины проекции отрезка равен сумме квадратов разностей координат x и y. Затем эту проекцию и разность координат z рассматривают как катеты прямоугольного треугольника. Ещё одно применение теоремы Пифагора даёт формулу AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Геометрические условия переводят в связи между координатами, потому что координаты позволяют выразить длины и положения точек числами. Например, равенство AB = CD удобно заменить равенством квадратов расстояний: так можно не работать с корнями. Если точка принадлежит заданной плоскости, её координаты должны удовлетворять связи, описывающей эту плоскость. Получившиеся равенства помогают найти неизвестные координаты или длины.

После вычислений результат сверяют с исходными условиями и расположением точек. Координаты не должны противоречить выбранным направлениям осей и размерам фигуры, а найденная длина не может быть отрицательной. Полезно также подставить ответ обратно в условие, например проверить, действительно ли вычисленные отрезки равны. Такая проверка обнаруживает ошибки со знаками и пропущенные координаты.

Координатные записи и формулы для простейших задач в пространстве

Таблица собирает записи, которые чаще всего нужны при решении задач. Сначала определите, какие точки и величины известны, затем выберите подходящую строку и подставьте координаты. Для равенства отрезков сравнивают выражения расстояний, а не отдельные координаты концов.

Разбор задач

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 2. Выберите систему координат с началом в A и найдите координаты A, B, D и A₁. Направим оси вдоль трёх рёбер, выходящих из A. Тогда координаты этих вершин определяются тем, на сколько единиц каждая из них смещена по осям.

1. Положим Ox вдоль AB, Oy вдоль AD, Oz вдоль AA₁; положительное направление каждой оси идёт от A к соответствующей вершине.
2. Точка A совпадает с началом, поэтому A(0; 0; 0). Точка B отстоит от A на 2 по Ox, значит B(2; 0; 0).
3. Точка D смещена на 2 по Oy, а A₁ — на 2 по Oz. Следовательно, D(0; 2; 0), A₁(0; 0; 2).

Ответ: A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0), A₁(0; 0; 2). Нулевые координаты показывают, что каждая из трёх вершин лежит на одной выбранной оси. Это согласуется с устройством куба и выбранным началом координат.

Задача 2. Прямоугольный параллелепипед имеет рёбра длиной 3, 4 и 5, выходящие из одной вершины. Требуется найти длину пространственной диагонали, соединяющей эту вершину с противоположной. Возьмём общую вершину за начало координат, а оси направим вдоль трёх рёбер.

1. Пусть рёбра направлены вдоль Ox, Oy и Oz соответственно. Тогда начало имеет координаты (0; 0; 0), а противоположная вершина — (3; 4; 5).
2. Применим формулу расстояния между точками: d = √((3 − 0)² + (4 − 0)² + (5 − 0)²).
3. Вычислим: d = √(9 + 16 + 25) = √50 = 5√2. Корень возник потому, что диагональ наклонена сразу к трём координатным направлениям.

Ответ: 5√2. Проверка по теореме Пифагора даёт тот же результат: сначала диагональ основания равна √(3² + 4²) = 5, затем пространственная диагональ равна √(5² + 5²). Значит, учтены все три измерения параллелепипеда.

Задача 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 найдите расстояние от A до центра грани BCC₁B₁. Расположим оси так же, как в предыдущей задаче о кубе: вдоль AB, AD и AA₁. Сначала найдём координаты центра грани, а затем расстояние от него до A.

1. При таком выборе координат B(2; 0; 0), C(2; 2; 0), B₁(2; 0; 2), C₁(2; 2; 2). Все вершины грани имеют x = 2, значит её центр лежит в плоскости x = 2.
2. Центр грани — середина её диагонали BC₁. Поэтому его координаты равны ((2 + 2)/2; (0 + 2)/2; (0 + 2)/2) = (2; 1; 1).
3. Координаты A равны (0; 0; 0). По формуле расстояния получаем d = √(2² + 1² + 1²) = √6.

Ответ: √6. Центр действительно находится посередине грани: его координаты по направлениям вдоль грани равны 1, а постоянная координата x равна 2. Результат положителен и соответствует ненулевому расстоянию от A.

Типичные ошибки

Оси выбирают, не согласовав их направления с расположением фигуры, поэтому координаты становятся громоздкими или получают неверные знаки. Так бывает, когда сначала назначают координаты, а уже потом пытаются сопоставить их рёбрам. Проверьте, куда указывают положительные направления и какие точки лежат на каждой оси. Удобно сначала отметить на схеме начало и направления осей.

В формуле расстояния иногда забывают координату z или вычитают координаты несогласованно. Ошибка возникает, когда формулу вспоминают как плоскую или подставляют координаты без записи парных разностей. Выпишите отдельно разность по каждой оси, а затем возведите каждую в квадрат. Поменять порядок вычитания можно: квадрат разности не изменится.

Координаты середины нельзя получить простым сложением координат концов. Такое сложение даёт удвоенные значения середины, потому что точка должна находиться ровно на половине пути между концами. Для каждой оси сложите координаты концов и разделите сумму на 2. Проверка: середина должна быть равноудалена от обоих концов.

Точку нельзя считать принадлежащей плоскости только потому, что так кажется на чертеже. Изображение пространственной фигуры плоское, поэтому оно может вводить в заблуждение относительно взаимного положения объектов. Обоснуйте принадлежность заданными условиями или координатной связью для этой плоскости. Затем проверьте, удовлетворяют ли координаты точки этой связи.

Связь с другими темами

Для координатного метода нужны навыки работы с прямоугольной системой координат на плоскости и умение находить расстояние между точками по координатам. Формула пространственного расстояния опирается на теорему Пифагора, поэтому важно уверенно применять её несколько раз. Позже этот метод поможет изучать уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Он также пригодится в более сложных задачах на расстояния и углы.

Что запомнить

• Точка в пространстве задаётся тремя координатами.
• Систему координат выбирают так, чтобы упростить вычисления.
• Координатный метод переводит геометрические условия в алгебраические.
• Расстояние между двумя точками учитывает разности всех трёх координат.
• Координаты середины отрезка — полусуммы координат его концов.
• Полученный результат нужно сверить с условием и расположением точек.