24.4. Декартовы прямоугольные координаты точки

Определения и обозначения

Декартова прямоугольная система координат в пространстве — три взаимно перпендикулярные координатные оси Ox, Oy и Oz с общим началом O и выбранными единицами измерения. Оси задают три направления, по которым можно описать положение точки. Общая точка O служит началом отсчёта, а единицы позволяют измерять расстояния.

Координатные плоскости — плоскости Oxy, Oxz и Oyz, каждая из которых проходит через две координатные оси. Например, плоскость Oxy содержит оси Ox и Oy. Эти плоскости разделяют пространство и помогают определить, где находится точка.

Координаты точки — упорядоченная тройка чисел A(x; y; z), однозначно задающая положение точки в пространстве. Первое число относится к оси Ox, второе — к Oy, третье — к Oz. Порядок записи нельзя менять: он указывает, какое число связано с каждым направлением.

Абсцисса, ордината и аппликата — соответственно координаты x, y и z точки. Их определяют как направленные расстояния до координатных плоскостей Oyz, Oxz и Oxy. Знак показывает сторону плоскости, а ноль означает, что точка лежит в ней.

Как это устроено

Чтобы задать координаты в пространстве, проводят через одну точку O три оси, перпендикулярные друг другу попарно. На каждой оси выбирают положительное направление и единицу длины; без этого нельзя однозначно договориться о знаке и величине координаты. Общая система отсчёта связывает измерения по разным направлениям. Поэтому положение точки можно описать согласованно, а не тремя независимыми измерениями от случайных начал.

Одного числа недостаточно, потому что оно задаёт только положение вдоль одного направления, а остальные координаты остаются неизвестными. Двух чисел хватает для точки на плоскости, но в пространстве точка может перемещаться ещё и перпендикулярно этой плоскости. Например, все точки с одинаковыми x и y, но разными z лежат на одной прямой, параллельной Oz. Третья координата отличает их друг от друга.

Координаты удобно находить через проекции точки на координатные плоскости и оси. Проекция — это основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость или прямую. Например, проекция A(x; y; z) на Oxy имеет координаты (x; y; 0), а на ось Ox — (x; 0; 0): при таком опускании расстояние вдоль соответствующего перпендикулярного направления исчезает. Так координаты проекций показывают, какие составляющие положения сохраняются.

Координата измеряет не просто длину, а направленное расстояние: она может быть положительной или отрицательной в зависимости от стороны координатной плоскости. Например, x сравнивает положение точки относительно Oyz, а z — относительно Oxy. Если точка лежит на плоскости, разделяющей стороны, расстояние до неё равно нулю. Поэтому знак и нулевое значение несут геометрическую информацию, а не являются только условностью записи.

Каждой точке соответствует ровно одна тройка: перпендикулярные направления и фиксированные начала отсчёта дают единственное значение каждой координаты. И наоборот, три заданных числа позволяют отложить единственное расстояние по каждой оси, а затем провести через отметки параллели осям до их пересечения. Так получают одну точку. Это взаимно однозначное соответствие позволяет заменять геометрическое описание вычислениями с числами.

Координаты точки в прямоугольной системе координат

Пользуйтесь таблицей, чтобы проверить, к какой оси относится координата и до какой плоскости она измеряется. При записи точки соблюдайте порядок x, y, z. Если координата равна нулю, точка лежит в плоскости, указанной в её геометрическом смысле.

Разбор задач

Задача 1. Точка A находится на расстоянии 2 единицы от плоскости Oyz со стороны отрицательных значений x, на расстоянии 3 единицы от Oxz со стороны положительных y и на расстоянии 4 единицы от Oxy со стороны положительных z. Требуется записать её координаты. В условии уже указаны и величины расстояний, и стороны соответствующих плоскостей.

1. Расстояние до Oyz определяет x. Точка находится с отрицательной стороны, поэтому x = −2.
2. Расстояние до Oxz определяет y, а положительная сторона даёт y = 3.
3. Расстояние до Oxy определяет z; точка расположена с положительной стороны, значит, z = 4.

Ответ: A(−2; 3; 4). Если бы были даны только обычные расстояния без указания стороны, знаки координат определить было бы нельзя.

Задача 2. Построить точку B(−2; 3; 4) и указать координаты её проекций на координатные плоскости и оси. Отрицательная абсцисса означает, что отметку на Ox нужно взять против положительного направления. Две остальные отметки располагаются в положительных направлениях Oy и Oz.

1. Отложите от O на оси Ox отрезок длины 2 в отрицательном направлении, на Oy — длины 3 в положительном, на Oz — длины 4 в положительном.
2. Через отметки проведите параллели соответствующим осям; их пересечение задаёт B. При проецировании на плоскость зануляется координата, перпендикулярная ей.
3. На Oxy проекция равна (−2; 3; 0), на Oxz — (−2; 0; 4), на Oyz — (0; 3; 4). На осях Ox, Oy, Oz проекции соответственно (−2; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 4).

Ответ: проекции имеют указанные координаты. Проверка проста: у проекции на плоскость отсутствует координата, относящаяся к перпендикулярной этой плоскости оси.

Задача 3. Определить координатную область для C(−5; 2; −1) и выяснить, какие плоскости пересекает отрезок CD, если D(1; −2; 3). Координатной областью здесь называют одну из частей пространства, заданную сочетанием знаков координат. Чтобы установить пересечения, сравним координаты концов отрезка по каждой оси.

1. У точки C знаки координат такие: x отрицателен, y положителен, z отрицателен. Значит, C лежит в области x < 0, y > 0, z < 0.
2. У концов отрезка координаты x имеют разные знаки (−5 и 1), координаты y тоже (2 и −2), координаты z тоже (−1 и 3). При движении по прямому отрезку каждая из этих координат меняется непрерывно, поэтому на нём встретится значение 0 для каждой координаты.
3. Следовательно, отрезок пересекает плоскости Oyz (x = 0), Oxz (y = 0) и Oxy (z = 0). Чтобы отрезок прошёл через ось, должны одновременно обратиться в ноль две координаты в одной и той же точке; здесь такого совпадения нет.

Ответ: C находится в области x < 0, y > 0, z < 0; отрезок CD пересекает все три координатные плоскости и не проходит через координатные оси.

Типичные ошибки

Перестановка координат. Запись A(x; z; y) возникает, если не связывать числа с конкретными осями. Однако положение второго числа всегда соответствует Oy, а третьего — Oz. Проверяйте запись вопросом: «Какова последовательность осей?» Правильный порядок — Ox, Oy, Oz, то есть x, y, z.

Забывают о знаке. Иногда координаты считают обычными расстояниями, поскольку расстояние само по себе неотрицательно. Но координата направленная и показывает, с какой стороны плоскости лежит точка. Сверьте знак с расположением относительно положительного направления оси; если точка лежит на плоскости, координата равна нулю.

Считают достаточными две координаты. Так переносят на всё пространство правило для точек плоскости. При фиксированных x и y значение z всё ещё может меняться, поэтому положение не определено. Для проверки представьте точки с координатами (1; 2; 0) и (1; 2; 5): они различны, хотя первые две координаты совпадают.

Путают плоскость при нулевой координате. Например, x = 0 означает не Oxy, а Oyz, потому что именно координата x обращается в ноль на плоскости, перпендикулярной Ox. Ошибка возникает, когда смотрят на букву плоскости, а не на отсутствующую координату. Проверяйте, какие две оси образуют плоскость: для Oyz координата x равна нулю.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны знания о взаимной перпендикулярности прямых и плоскостей, ортогональных проекциях и направленных отрезках. На плоскости положение точки задают двумя координатами; пространственная система добавляет третью, поэтому её можно считать трёхмерным продолжением знакомого способа. Координаты далее помогают находить расстояния и координаты векторов, а также составлять уравнения прямых и плоскостей. Умение связывать числа с геометрическим положением делает такие задачи нагляднее.

Что запомнить

• В пространстве положение точки задаётся тремя координатами.
• Координатные оси Ox, Oy и Oz взаимно перпендикулярны и имеют общее начало O.
• Координаты точки записывают в порядке x, y, z.
• x — абсцисса, y — ордината, z — аппликата.
• Нулевая координата означает принадлежность соответствующей координатной плоскости.
• Знак координаты показывает сторону расположения точки относительно координатной плоскости.
• Каждой точке соответствует единственная тройка координат.