"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Проекция вектора на ось показывает, какая часть вектора направлена вдоль этой оси и в какую сторону. Это число может быть положительным, отрицательным или равным нулю: его знак зависит от угла с положительным направлением оси. На координатных осях проекции вектора совпадают с его координатами, а на произвольной оси их находят по координатам и направляющим косинусам. Такой способ помогает сравнивать направления и решать задачи на векторы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Проекция вектора на ось — число, равное длине вектора со знаком, который зависит от его направления вдоль оси. Если φ — угол между вектором и положительным направлением оси, то проекция равна длине вектора, умноженной на cos φ. Такое число позволяет учитывать не только размер вектора, но и то, в какую сторону он направлен относительно выбранной оси.
Координаты вектора — числа, задающие его составляющие вдоль координатных осей. Каждая координата совпадает с проекцией вектора на соответствующую ось: первая — на Ox, вторая — на Oy, третья — на Oz. Это позволяет описывать пространственный вектор тремя числами и выполнять вычисления без построения его составляющих.
Косинус угла между ненулевым вектором и осью равен отношению проекции вектора на эту ось к длине вектора. Если обозначить проекцию через p, а длину через |a|, то cos φ = p / |a|. Отсюда следует формула p = |a| cos φ: зная длину и угол, можно найти направленную составляющую вектора на ось.
Направляющие косинусы — косинусы углов, которые положительное направление выбранной оси образует с положительными направлениями координатных осей. Их обычно обозначают cos α, cos β и cos γ. Эти числа описывают ориентацию оси в пространстве и позволяют вычислить проекцию вектора на неё по координатам вектора.
Чтобы найти проекцию, представим вектор и его направление относительно оси. В прямоугольном треугольнике длина вектора играет роль гипотенузы, а проекция по модулю — прилежащего катета. По определению косинуса прилежащий катет равен гипотенузе, умноженной на косинус угла, поэтому получается формула p = |a| cos φ. Знак добавляется в соответствии с тем, в какую сторону направлена составляющая.
Знак проекции связан с величиной угла φ. Для острого угла cos φ положителен, значит, вектор имеет составляющую в сторону положительного направления оси. При прямом угле косинус равен нулю: вектор перпендикулярен оси и не имеет составляющей вдоль неё. Для тупого угла косинус отрицателен, потому что составляющая направлена против положительного направления.
В прямоугольной системе координат вектор можно разложить на составляющие, параллельные Ox, Oy и Oz. Числа x, y и z как раз задают эти составляющие с учётом их направлений, поэтому они равны проекциям вектора на соответствующие оси. Так, вектор с координатами (x, y, z) имеет проекции x, y и z на Ox, Oy и Oz. Это соответствие относится именно к координатным осям, а не к любой выбранной оси.
Для произвольной оси можно сначала представить её направление единичным вектором с координатами (cos α, cos β, cos γ). Проекция исходного вектора на ось равна сумме произведений координат обоих векторов: x cos α + y cos β + z cos γ. Каждый член показывает вклад соответствующей составляющей в итоговую проекцию. Если координата или направляющий косинус отрицательны, знак этого вклада тоже нужно учитывать.
Направляющие косинусы являются координатами единичного вектора вдоль оси. Длина такого вектора равна 1, а квадрат длины в координатах — сумма квадратов координат. Поэтому cos² α + cos² β + cos² γ = 1. Это равенство можно использовать для проверки направляющих косинусов или для нахождения одного из них, если известны два других и его знак.
В таблице собраны формулы проекций вектора a = (x, y, z). В строке для произвольной оси подставляйте координаты вектора и направляющие косинусы этой оси, сохраняя их знаки. Последняя строка помогает проверить, могут ли три заданных числа быть направляющими косинусами.
| Случай | Формула проекции | Что означают величины |
|---|---|---|
| На ось Ox | pₓ = x | x — первая координата вектора, проекция на Ox. |
| На ось Oy | pᵧ = y | y — вторая координата вектора, проекция на Oy. |
| На ось Oz | p_z = z | z — третья координата вектора, проекция на Oz. |
| На ось с направляющими косинусами cos α, cos β, cos γ | p = x cos α + y cos β + z cos γ | (x, y, z) — координаты вектора; cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы оси. |
| Условие для направляющих косинусов | cos² α + cos² β + cos² γ = 1 | Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице. |
Задача 1. Вектор имеет длину 8 и образует с положительным направлением оси угол 60°. Найдите его проекцию на ось. Угол острый, поэтому проекция будет положительной; это заранее помогает проверить знак результата. Используем формулу проекции через длину и косинус угла.
Ответ: 4. Проекция положительна, потому что угол между вектором и положительным направлением оси острый. Её модуль меньше длины вектора, как и должно быть при угле, отличном от нуля.
Задача 2. Даны координаты вектора (−2, 5, 3). Найдите его проекции на Ox, Oy и Oz. Здесь оси совпадают с координатными, поэтому можно сразу использовать соответствие координат и проекций. Знаки координат сохраняем: минус у первой координаты показывает направление составляющей против положительного направления Ox.
Ответ: −2, 5 и 3 соответственно. Отрицательной получилась только проекция на Ox, потому что соответствующая составляющая направлена против положительного направления этой оси. Для двух других осей составляющие направлены вдоль их положительных направлений.
Задача 3. Вектор имеет координаты (2, −1, 4), а ось задана направляющими косинусами (2/3, −1/3, 2/3). Найдите проекцию вектора на эту ось. Ось не совпадает с координатной, поэтому нельзя просто взять одну из координат вектора. Нужно учесть вклад каждой координаты, умножив её на соответствующий направляющий косинус.
Ответ: 13/3. Второе слагаемое положительно, потому что перемножаются две отрицательные величины. Положительный итог показывает, что вектор в целом имеет составляющую вдоль положительного направления заданной оси.
Считать проекцию всегда неотрицательной. Так ошибаются, если воспринимают проекцию только как длину отрезка. На самом деле это направленное число, и при тупом угле оно отрицательно. Проверьте знак по косинусу угла: для тупого угла cos φ < 0.
Путать проекцию с длиной вектора. Длина показывает полный размер вектора, а проекция — только составляющую вдоль выбранной оси. Поэтому она может быть меньше длины, равняться нулю или быть отрицательной. Проверяйте, что |p| не превышает |a|, и помните, что длина не бывает отрицательной.
Использовать координаты вектора как проекции на произвольную ось. Это верно только для соответствующих координатных осей, потому что именно вдоль них заданы координатные составляющие. Для наклонной оси координаты нужно сочетать с её направляющими косинусами. Перед вычислением определите, совпадает ли нужная ось с Ox, Oy или Oz.
Терять знак направляющего косинуса. Отрицательный косинус означает, что положительное направление оси имеет составляющую против одной из координатных осей. Если заменить его модулем, вклад в общую проекцию изменится. Подставляйте координаты и направляющие косинусы со знаками, а результат проверяйте сравнением с направлением оси.
Для работы с проекциями нужны координаты вектора в пространстве, его длина и формула косинуса угла между векторами. Проекции помогают вычислять скалярное произведение и находить угол между векторами, поскольку связывают длину, направление и составляющие вектора. Они также используются при разложении вектора по заданным направлениям. В задачах на движение и силы проекции показывают составляющую скорости или силы вдоль выбранной линии.
Может ли проекция вектора на ось быть отрицательной?
Да. Если угол между вектором и положительным направлением оси тупой, косинус этого угла отрицателен, поэтому отрицательна и проекция.
Чем проекция вектора отличается от его длины?
Длина — неотрицательное число, которое показывает размер вектора. Проекция учитывает направление: она может быть отрицательной или нулевой и по модулю не превышает длину вектора.
Почему координаты вектора совпадают с проекциями на координатные оси?
Координаты задают составляющие вектора вдоль осей Ox, Oy и Oz. Каждая такая составляющая — это направленная проекция вектора на соответствующую ось.
Как найти проекцию на ось, не совпадающую с координатной?
Умножьте координаты вектора на направляющие косинусы оси по соответствующим осям и сложите результаты. Для вектора (x, y, z) это выражение x cos α + y cos β + z cos γ.
Почему сумма квадратов направляющих косинусов равна единице?
Направляющие косинусы являются координатами единичного вектора, направленного вдоль оси. Квадрат длины этого вектора равен сумме квадратов координат и одновременно равен 1.
24.3. Проекции вектора на ось в координатах
