24.2. Скалярное произведение векторов в координатах

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов — числовая величина, равная произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Его обозначают a · b, а если угол между ненулевыми векторами равен α, то a · b = |a||b| cos α. Результат — число, а не вектор. Это определение помогает связать вычисление с длинами и углами.

Координаты вектора — числа, задающие его компоненты вдоль осей выбранной прямоугольной системы координат. На плоскости вектор записывают как a = (a₁, a₂), в пространстве — как a = (a₁, a₂, a₃). Индексы обозначают координаты, соответствующие разным осям. Такая запись позволяет вычислять характеристики векторов, не строя их каждый раз.

Координатная формула скалярного произведения — сумма произведений соответствующих координат двух векторов. Например, координату с индексом 1 одного вектора умножают на координату с индексом 1 другого и так же поступают с остальными. Число полученных произведений зависит от числа координат. Формула превращает геометрическую задачу в вычисление.

Условие перпендикулярности векторов: скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю. Это следует из определения: для прямого угла косинус равен нулю, поэтому и произведение длин на косинус равно нулю. Обратное тоже верно: при ненулевых длинах нулевое произведение означает, что косинус угла равен нулю. Условие удобно применять к координатам.

Как это устроено

В прямоугольной системе координат векторы можно представить через взаимно перпендикулярные единичные направления осей. При раскрытии скалярного произведения смешанные слагаемые исчезают: единичные направления разных осей перпендикулярны, а их произведение равно нулю. Остаются только произведения компонент, направленных вдоль одной оси. Поэтому на плоскости a · b = a₁b₁ + a₂b₂, а в пространстве a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

Формула не зависит от того, как именно выбраны прямоугольные оси внутри плоскости или пространства. При повороте осей координаты каждого вектора изменятся, но геометрические длины и угол между векторами останутся прежними. А значит, не изменится и число |a||b| cos α. Координатная сумма вычисляет именно это число, поэтому после смены осей результат останется тем же.

Чтобы найти квадрат длины, в формуле скалярного произведения нужно взять один и тот же вектор дважды. На плоскости получится a · a = a₁² + a₂², а в пространстве — a · a = a₁² + a₂² + a₃². По определению произведение равно |a||a| cos 0°, то есть |a|², поскольку угол вектора с самим собой равен нулю. Следовательно, длина равна квадратному корню из суммы квадратов координат.

Знак скалярного произведения показывает, какой угол образуют ненулевые векторы. Длины в определении положительны, поэтому знак произведения задаёт знак косинуса: для острого угла косинус положителен, для прямого равен нулю, для тупого отрицателен. Это позволяет судить об угле даже без его точного вычисления. Но по одному только знаку нельзя узнать конкретную величину угла.

Для проверки перпендикулярности достаточно вычислить сумму попарных произведений координат: если она равна нулю, ненулевые векторы перпендикулярны. Чтобы найти угол, сначала по координатам вычисляют скалярное произведение и длины, а затем используют cos α = (a · b)/(|a||b|). Деление на произведение длин необходимо, потому что само скалярное произведение зависит и от угла, и от величины векторов. Угол находят по полученному значению косинуса.

Скалярное произведение и связанные с ним вычисления

Сначала определите, сколько координат у векторов: две для плоскости и три для пространства. Если нужна длина, подставьте координаты одного и того же вектора; если угол — сначала найдите произведение и обе длины. Для перпендикулярности достаточно проверить, равна ли сумма произведений нулю.

Разбор задач

Задача 1. Даны векторы на плоскости a = (2, −1) и b = (3, 4). Найдём их скалярное произведение. Так как у каждого вектора две координаты, используем формулу для плоскости. Сопоставим координаты с одинаковыми номерами.

1. Перемножаем первые координаты: 2 · 3 = 6.
2. Перемножаем вторые координаты: (−1) · 4 = −4.
3. Складываем результаты: 6 + (−4) = 2.

Ответ: a · b = 2. Положительный результат показывает, что угол между векторами острый.

Задача 2. Даны векторы в пространстве u = (1, 2, −2) и v = (2, −1, 0). Нужно определить, перпендикулярны ли они. В пространстве учитываем все три координаты, даже если одна из них равна нулю. Нулевое скалярное произведение для этих ненулевых векторов будет критерием перпендикулярности.

1. Перемножаем первые координаты: 1 · 2 = 2.
2. Вторые координаты дают 2 · (−1) = −2, третьи — (−2) · 0 = 0.
3. Складываем: u · v = 2 − 2 + 0 = 0.

Ответ: векторы перпендикулярны, поскольку оба ненулевые и их скалярное произведение равно нулю.

Задача 3. Найдём косинус угла между p = (1, 1, 0) и q = (1, 0, 1), затем определим угол. Для формулы косинуса нужны скалярное произведение и длина каждого вектора. Оба вектора ненулевые, поэтому деление на произведение их длин допустимо.

1. Скалярное произведение: p · q = 1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 = 1.
2. Длины равны √(1² + 1² + 0²) = √2 и √(1² + 0² + 1²) = √2.
3. Подставляем: cos α = 1/(√2 · √2) = ½. Угол, косинус которого равен ½, составляет 60°.

Ответ: cos α = ½, α = 60°.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать координаты, а не их произведения. Так делают, если воспринимают формулу как обычное сложение компонент, но скалярное произведение требует попарного умножения. Сначала умножьте координаты с одинаковыми индексами, затем сложите полученные числа. Для проверки сверьте каждый член суммы с соответствующей парой координат.

Ошибка: забыть третьи координаты при вычислении в пространстве. Формулу с двумя слагаемыми переносят с плоскости, хотя у пространственного вектора три компоненты. Запишите по одному произведению на каждую координату. Самопроверка проста: если у векторов по три координаты, в формуле тоже должны быть три слагаемых.

Ошибка: считать, что нулевое произведение означает перпендикулярность любых векторов. Критерий относится к ненулевым векторам, а у нулевого вектора геометрическое направление не определено. Перед выводом проверьте, что хотя бы одна координата каждого вектора отлична от нуля. Если вектор нулевой, заключение о прямом угле делать нельзя.

Ошибка: не делить произведение на длины при вычислении косинуса угла. Скалярное произведение само по себе зависит от размеров векторов, поэтому оно не равно косинусу автоматически. Используйте cos α = (a · b)/(|a||b|) и найдите обе длины. Проверка: косинус должен лежать в пределах от −1 до 1.

Связь с другими темами

Для работы с координатной формулой нужно уметь находить координаты вектора и его длину, а также понимать, что такое угол между векторами. Длину можно вычислить по теореме Пифагора: сумма квадратов координат даёт квадрат длины. Освоенная формула помогает решать задачи планиметрии и стереометрии: проверять перпендикулярность, находить углы и вычислять длины. Координаты переводят эти геометрические вопросы в вычисления.

Что запомнить

• В координатах скалярное произведение — сумма произведений соответствующих координат.
• На плоскости учитывают две координаты, в пространстве — три.
• Квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на себя.
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Знак скалярного произведения показывает, острый, прямой или тупой угол образуют ненулевые векторы.
• Для нахождения угла используют скалярное произведение и длины обоих векторов.