"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Координаты вектора — это числа, показывающие, с какими коэффициентами он раскладывается по трём векторам базиса. Они превращают действия с пространственными векторами в вычисления с тройками чисел: при сложении и вычитании координаты обрабатывают попарно, а при умножении на число каждую координату умножают на этот множитель. Такой способ помогает находить результат линейных операций и проверять равенство векторов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатами вектора называют числа, задающие его разложение по трём некомпланарным векторам базиса. Если базисные векторы обозначены e₁, e₂, e₃, то разложение записывают так: a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃. Коэффициенты a₁, a₂, a₃ и есть координаты вектора. Они нужны, чтобы описывать векторы числами и выполнять вычисления без построения каждого вектора.
Координатный вектор — вектор, заданный упорядоченной тройкой своих координат: например, a = (2; −1; 3). Тройка упорядочена: первое число относится к первому вектору базиса, второе — ко второму, третье — к третьему. Такая запись позволяет быстро видеть коэффициенты разложения и работать с ними по правилам арифметики.
Линейная операция над векторами — это сложение векторов или умножение вектора на число; к этим действиям также сводится вычитание. Число, на которое умножают вектор, называют скалярным множителем. Эти операции нужны, чтобы составлять новые векторы из уже заданных и находить координаты результата.
Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам базиса, причём такое разложение единственно. Если бы у одного вектора были два разных набора коэффициентов, их разность дала бы нетривиальную линейную комбинацию базисных векторов, равную нулю. Но три некомпланарных вектора линейно независимы: такая комбинация возможна только при нулевых коэффициентах. Поэтому одному вектору соответствует одна тройка координат.
Координаты записывают именно в том порядке, в котором выбраны базисные векторы, потому что каждое число относится к конкретному вектору базиса. Например, в разложении a = 2e₁ + 0e₂ − 3e₃ координатами будут (2; 0; −3). Ноль показывает, что слагаемое с e₂ не влияет на результат. Если переставить числа, изменится, при каких базисных векторах стоят коэффициенты, а значит, может измениться и сам вектор.
При сложении векторов, записанных в одном базисе, складываются их разложения: a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ и b = b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃. После группировки слагаемых при e₁ получится a₁ + b₁, при e₂ — a₂ + b₂, а при e₃ — a₃ + b₃. Поэтому координаты результата складываются попарно. Смешивать координаты с разными номерами нельзя: они относятся к разным векторам базиса.
При умножении разложения на число λ множитель распределяется по всем слагаемым: λa = λa₁e₁ + λa₂e₂ + λa₃e₃. Поэтому каждую координату умножают на λ, а не только первую или последнюю. Если λ отрицательно, все координаты меняют знак, и вектор направлен противоположно исходному.
Вычитание можно представить как сложение с противоположным вектором: a − b = a + (−b). У вектора −b каждая координата равна соответствующей координате b с противоположным знаком. Значит, при вычитании из каждой координаты первого вектора вычитают соответствующую координату второго. Такой способ объясняет и правило знаков, и то, почему менять знак нужно у всех координат вычитаемого вектора.
В таблице a = (a₁; a₂; a₃), b = (b₁; b₂; b₃), а λ — число. В каждой строке координаты с одинаковыми индексами соответствуют одному вектору базиса. Используй нужную строку, чтобы записать результат действия с векторами или проверить их равенство.
| Операция | Векторная запись | Координаты результата |
|---|---|---|
| Сложение | a + b | (a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃) |
| Вычитание | a − b | (a₁ − b₁; a₂ − b₂; a₃ − b₃) |
| Умножение на число | λa | (λa₁; λa₂; λa₃) |
| Равенство векторов | a = b | a₁ = b₁, a₂ = b₂, a₃ = b₃ |
Задача 1. Векторы a и b имеют координаты (2; −1; 3) и (−4; 5; 1). Найдите координаты a + b. Здесь требуется сложить векторы, поэтому используем правило сложения координат с одинаковыми номерами. Сначала определим три пары чисел, затем проверим знаки и запишем результат в виде упорядоченной тройки.
Первую координату результата находим так: 2 + (−4) = −2. Это коэффициенты при первом базисном векторе.
Для второй координаты вычисляем −1 + 5 = 4, для третьей — 3 + 1 = 4. В каждой паре складываются числа с одинаковым номером.
Собираем полученные значения в прежнем порядке. Ответ: a + b = (−2; 4; 4).
Задача 2. Даны a = (1; −2; 4) и b = (3; 0; −1). Найдите координаты 2a − 3b. Удобно сначала применить множители к каждому вектору, а затем вычесть координаты второго результата из координат первого. Так проще не потерять знак при умножении и вычитании.
Умножаем все координаты a на 2: 2a = (2; −4; 8). Умножаем все координаты b на 3: 3b = (9; 0; −3).
Вычитаем по парам: 2 − 9 = −7, −4 − 0 = −4, 8 − (−3) = 11. В последнем вычислении вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
Располагаем результаты по порядку координат. Ответ: 2a − 3b = (−7; −4; 11).
Задача 3. Векторы a = (x; 2; −1) и b = (3; y; 4) равны. Найдите x и y. Равенство векторов означает совпадение координат с одинаковыми номерами, поэтому составим равенство для каждой из трёх пар. Два уравнения будут содержать неизвестные, а третье послужит проверкой условия.
Приравниваем первые координаты: x = 3. Приравниваем вторые координаты: 2 = y, значит, y = 2.
Проверяем третьи координаты: −1 не равно 4. Значит, при данных координатах векторы не могут быть равными ни при каких x и y.
Условия для первых двух координат дают x = 3 и y = 2, но третье равенство противоречиво. Ответ: решений нет; в условии равенства имеется противоречие.
Ошибка — складывать координаты с разными номерами, например первую координату одного вектора со второй координатой другого. Такое случается, когда тройки воспринимают как обычный список чисел, забывая об их связи с базисом. Проверяй, что в каждой паре складываются или вычитаются числа на одинаковых местах.
Иногда при умножении на число умножают только часть координат. Причина обычно в том, что множитель применяют к записи как к набору отдельных чисел, а не ко всему вектору. После вычисления проверь каждую координату: везде должен присутствовать один и тот же скалярный множитель.
При вычитании знак меняют только у одной или двух координат второго вектора. Это происходит, если забыть, что вычитается весь вектор, а не отдельное слагаемое. Проверка простая: запиши сначала противоположный вектор, поменяв знак каждой его координаты, а затем сложи его с первым.
Два вектора могут иметь одинаковую длину или быть параллельными, но это ещё не означает их равенства. Равенство требует совпадения всех координат с одинаковыми номерами, поскольку только тогда совпадают разложения по базису. Для проверки сравни три пары координат, а не только отдельные признаки векторов.
Перед этой темой нужно знать, что такое базис и как раскладывать вектор по трём некомпланарным векторам: именно коэффициенты разложения становятся координатами. Координатные правила помогают находить векторы между точками и работать с линейными комбинациями — выражениями, составленными из векторов с числовыми множителями. В дальнейшем те же вычисления используются в пространственной геометрии, чтобы сводить задачи о векторах к действиям с числами.
От чего зависит запись координат вектора?
Координаты зависят от выбранного базиса — трёх некомпланарных векторов, по которым раскладывают данный вектор. Порядок чисел соответствует порядку векторов базиса, поэтому при смене базиса координаты могут измениться.
Почему координаты векторов складывают попарно?
Оба вектора раскладывают по одному и тому же базису, а затем складывают разложения. Коэффициенты при каждом базисном векторе складываются между собой, поэтому складываются координаты с одинаковыми номерами.
Как найти координаты противоположного вектора?
Нужно умножить каждую координату исходного вектора на −1. Например, вектору (2; −3; 1) противоположен вектор (−2; 3; −1).
Можно ли складывать координаты векторов, заданных в разных базисах?
Складывать соответствующие координаты напрямую можно, только если они записаны в одном и том же базисе. Если базисы разные, сначала нужно перевести координаты в общий базис.
Как по координатам проверить, что два вектора равны?
Нужно сравнить координаты с одинаковыми номерами. Векторы равны тогда и только тогда, когда совпадают все три пары координат.
24.1. Координаты вектора в пространстве. Линейные операции над векторами в координатах
