§ 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве

Определения и обозначения

Декартова прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными положительными направлениями. Она позволяет задавать положение любой точки тремя числами, а не описывать его длинным словесным указанием. Общая точка осей обычно обозначается O.

Координатные плоскости — плоскости, проходящие через пары координатных осей: Oxy, Oxz и Oyz. Название каждой плоскости составляют из обозначений двух осей, которые в ней лежат. Эти плоскости помогают делить пространство и определять положение точек относительно осей.

Координаты точки — упорядоченная тройка чисел (x; y; z), задающая её положение относительно координатных осей. Порядок чисел обязателен: сначала указывают координату по Ox, затем по Oy, потом по Oz. Благодаря такой записи точку можно однозначно построить или найти расстояние до неё.

Координатные оси Ox, Oy и Oz — попарно перпендикулярные прямые, на которых откладывают соответственно абсциссу, ординату и аппликату точки. Абсцисса — это координата x, ордината — y, аппликата — z. Названия осей подсказывают, к какой части тройки относится каждое число.

Как это устроено

На плоскости для задания положения точки достаточно двух перпендикулярных осей: координаты показывают, насколько нужно переместиться в каждом из двух направлений. В пространстве такого описания недостаточно, поскольку точка может быть смещена ещё и вверх или вниз относительно плоскости этих осей. Поэтому добавляют третью ось, перпендикулярную первым двум. Все три оси пересекаются в одной точке O: без общего начала нельзя было бы отсчитывать координаты в единой системе.

Каждая пара координатных осей задаёт плоскость, а три такие плоскости пересекаются по осям и делят пространство на восемь частей. Эти части называют октантами; чтобы определить положение точки, достаточно рассмотреть знак каждой координаты. Положительный или отрицательный знак показывает, в каком направлении от начала координат расположена проекция точки на соответствующую ось. Так, сочетание знаков (+; −; +) указывает, что x и z положительны, а y отрицательна. Если координата равна нулю, точка находится на разделяющей плоскости, а не внутри одного октанта.

Для построения точки можно сначала отложить её координаты на осях, а затем перенести найденные положения параллельно другим осям. Например, чтобы построить M(x; y; z), сначала учитывают смещения x, y и z по направлениям соответствующих осей. Удобно построить прямоугольный параллелепипед с рёбрами, параллельными осям: нужная точка окажется в его вершине. При параллельном переносе направление оси сохраняют, иначе отложенная координата получит неверный знак или будет отложена не по той оси.

Координаты можно определить через проекции — точки или отрезки, полученные перпендикулярным опусканием на координатную плоскость. Проекция на Oxy сохраняет значения x и y, но не показывает смещение по Oz, поэтому по ней можно восстановить только две координаты. Чтобы узнать третью, используют проекции на другие координатные плоскости или положение точки относительно соответствующей оси. Если точка уже лежит в плоскости, перпендикулярной оси, смещения вдоль этой оси нет, значит, соответствующая координата равна нулю.

Расстояние между двумя точками находят, сравнивая их координаты по каждому из трёх направлений. Если мысленно провести отрезки, параллельные осям, разности координат станут длинами рёбер прямоугольного параллелепипеда. Сначала по теореме Пифагора находят диагональ основания, используя разности по x и y, а затем применяют теорему ещё раз, добавляя разность по z. В результате получают формулу d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Координатные плоскости и условие принадлежности им точки

Чтобы проверить принадлежность точки плоскости, найдите координату, соответствующую отсутствующей в её названии оси. Именно она должна быть равна нулю. Например, в названии Oxy нет оси Oz, поэтому для этой плоскости требуется z = 0.

Таблица работает и в обратную сторону: по нулевой координате можно определить координатную плоскость. Если нулей две, точка лежит на соответствующей координатной оси, а если нулей три — совпадает с началом координат O.

Разбор задач

Задача 1. Определить координаты отмеченной точки A

На координатном чертеже точка A задана своими проекциями на три оси. Нужно считать значения по каждой оси и записать их в тройку. Поскольку самого чертежа с отметками здесь нет, конкретные числа зависят от него; разберём порядок действий, который позволяет их определить.

1. Найдите проекцию точки на ось Ox и считайте её значение с учётом направления. Это координата x, то есть первое число в записи.
2. По проекции на Oy определите координату y и запишите её второй. Затем считайте координату z по оси Oz, обращая внимание на положительное и отрицательное направления.
3. Соберите результаты в запись A(x; y; z). Проверьте, что числа идут именно в порядке Ox, Oy, Oz, а знаки соответствуют положениям проекций.

Ответ: координаты A записываются как (x; y; z), где каждое число считывается по своей оси; численные значения определяются отметками на данном чертеже. Если точка лежит на одной из координатных плоскостей, соответствующая координата равна нулю. Это служит дополнительной проверкой прочитанной тройки.

Задача 2. Построить точку B(−2; 3; 1) и определить её часть пространства

Координаты B показывают смещения по трём направлениям: по Ox нужно отложить −2, по Oy — 3, по Oz — 1. Отрицательная координата означает, что точку откладывают против выбранного положительного направления оси. Чтобы определить часть пространства, после построения смотрят на знаки всех координат.

1. Отметьте на оси Ox значение −2, то есть отложите 2 единицы против положительного направления. На Oy отметьте 3 единицы по положительному направлению, а на Oz — 1 единицу также по положительному направлению.
2. Через полученные положения проведите мысленно или на чертеже линии, параллельные другим осям. Их пересечение, соответствующее всем трём смещениям, задаёт точку B; при переносах сохраняйте направление каждой оси.
3. Проверьте знаки: x < 0, y > 0 и z > 0. Следовательно, точка находится в части пространства, задаваемой сочетанием знаков (−; +; +), то есть по отрицательную сторону от плоскости Oyz и по положительную от двух других координатных плоскостей.

Ответ: B строится по координатам (−2; 3; 1) и лежит в октанте со знаками (−; +; +). Не следует путать порядок координат с порядком направлений на рисунке: сначала всегда читают x, затем y, затем z. Если на чертеже оси изображены под наклоном, их геометрический наклон не меняет заданных координат.

Задача 3. Найти расстояние между C(1; −2; 3) и D(4; 2; 1)

Чтобы найти расстояние, сравните координаты точек отдельно по каждой оси. Полученные разности задают три взаимно перпендикулярных смещения между точками. По пространственной формуле расстояния нужно сложить квадраты всех трёх разностей и извлечь корень.

1. Вычислите разность координат по Ox: 4 − 1 = 3. По Oy разность равна 2 − (−2) = 4, а по Oz — 1 − 3 = −2.
2. Возведите разности в квадрат: 3² = 9, 4² = 16 и (−2)² = 4. Отрицательный знак последней разности не влияет на её квадрат.
3. Сложите результаты: 9 + 16 + 4 = 29. Извлеките квадратный корень и получите CD = √29.

Ответ: расстояние между точками C и D равно √29. Проверка показывает, что учтены все три координатных направления, а длина положительна. Приближённо это 5,39 единицы.

Типичные ошибки

Ошибка: записывать координаты в произвольном порядке, например поменять местами y и z. Так происходит, когда ученик ориентируется на расположение осей на рисунке, а не на обозначения. Проверка: прочитайте запись по порядку Ox, Oy, Oz и сверьте, какое число относится к каждой оси.

Ошибка: считать, что нулевая координата означает совпадение точки с осью. На самом деле одно нулевое значение означает, что точка лежит в соответствующей координатной плоскости, которая содержит сразу две оси. Проверка: посмотрите, сколько координат равно нулю; две нулевые координаты означают принадлежность оси, а три — начало координат.

Ошибка: путать плоскости Oxy, Oxz и Oyz. Их обозначения легко перепутать, если запомнить только внешний вид чертежа, а не пары осей. Проверка: выпишите две оси, входящие в название плоскости, и найдите третью, отсутствующую; координата по этой третьей оси должна быть нулевой.

Ошибка: в формуле расстояния возводить в квадрат не все разности или учитывать лишь две координаты. Это случается, когда формулу по привычке переносят с плоскости, где используются только два направления. Проверка: выпишите три разности — по x, y и z, поставьте квадрат у каждой и только затем сложите их под корнем.

Связь с другими темами

Для работы с пространственными координатами нужно знать декартову систему на плоскости, смысл координат точки и теорему Пифагора. Переход к трём координатам сохраняет знакомые идеи, но добавляет третье направление и ещё одно слагаемое в формуле расстояния. Поэтому умение работать с прямоугольными треугольниками помогает понять, откуда берётся пространственная формула.

Координатный метод далее используют при изучении векторов, уравнений прямых и плоскостей. Он также помогает решать задачи на расстояния и объёмы: геометрические свойства можно выразить через числа и вычисления. Чем увереннее вы читаете координаты точки, тем проще переходить от чертежа к расчётам.

Что запомнить

• В пространственной декартовой системе три оси попарно перпендикулярны и имеют общее начало.
• Координаты точки записывают упорядоченной тройкой (x; y; z).
• Плоскость Oxy задаётся осями Ox и Oy; для точек этой плоскости z = 0.
• Для точек плоскости Oxz выполняется y = 0, а плоскости Oyz — x = 0.
• Расстояние между точками в пространстве вычисляют по формуле d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).