"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Векторный метод помогает решать задачи о точках, прямых и плоскостях с помощью действий над векторами. Сначала выбирают удобное начало отсчёта и базисные векторы, затем выражают через них нужные направления и применяют правила сложения, пропорциональности или скалярного произведения. Так геометрическое условие превращается в проверяемые вычисления. Главное — правильно записать векторы и в конце связать полученное равенство с вопросом задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Векторный метод решения стереометрической задачи — способ заменить отношения между точками, прямыми и плоскостями действиями над векторами. Вместо того чтобы опираться только на рисунок, мы записываем направления и связи между ними в виде равенств. Метод полезен, когда условие можно выразить через сложение векторов, пропорциональность или скалярное произведение.
Радиус-вектор точки — вектор, проведённый из выбранного начала отсчёта к этой точке. Если начало обозначено O, радиус-вектор точки A записывают как OA. С его помощью удобно находить вектор между точками: он равен разности их радиус-векторов, поэтому геометрические отрезки можно описывать вычислениями.
Линейная комбинация векторов — сумма нескольких векторов, каждый из которых умножен на число, например αa + βb. Коэффициенты показывают, сколько раз и в каком направлении учитывается каждый вектор. Такой записью выражают нужное направление через выбранные базисные векторы и исследуют параллельность.
Скалярное произведение векторов — число, которое для векторов a и b равно |a||b| cos φ, где φ — угол между ними. Оно позволяет проверить перпендикулярность: произведение равно нулю, если векторы перпендикулярны. Если известны длины и произведение, можно также найти угол.
Сначала выбирают удобные базисные векторы — независимые направления, через которые можно выразить нужные векторы. Обычно берут рёбра, выходящие из одной вершины, или другие отрезки, явно связанные с условием. Так выбор опирается на геометрию задачи: если взять случайные направления, выражения станут длинными, а смысл коэффициентов потеряется. Удачный базис сокращает вычисления и помогает увидеть нужную зависимость.
Чтобы перейти от точек к векторам, задают начало отсчёта и записывают радиус-векторы точек. Для точек A и B вектор AB равен OB − OA: сначала от начала отсчёта доходят до B, а затем учитывают обратное перемещение от A к O. Например, если OA = a и OB = b, то AB = b − a. Это правило позволяет выразить отрезки конфигурации через выбранные векторы и работать с ними как с алгебраическими выражениями.
Для доказательства параллельности прямых сравнивают их направляющие векторы. Если один ненулевой направляющий вектор равен числу, умноженному на другой, то направления совпадают или противоположны, а прямые параллельны. Для параллельности прямой и плоскости направляющий вектор прямой должен выражаться через два направления, лежащих в плоскости. Для параллельности двух плоскостей достаточно установить соответствие между их направляющими направлениями, например показать, что два независимых направления одной плоскости выражаются через направления другой.
Перпендикулярность переводят в условие на скалярное произведение, потому что оно учитывает угол между направлениями. Если a · b = 0 и оба вектора ненулевые, то угол между ними равен 90°. Для нахождения другого угла используют формулу cos φ = (a · b)/(|a||b|), предварительно найдя длины векторов. Так задача об угле превращается в вычисление числа и его сопоставление с формулой.
После вычислений нужно вернуться к исходным объектам, иначе равенство останется только утверждением о векторах. Например, пропорциональность направляющих векторов означает параллельность прямых, а нулевое скалярное произведение — перпендикулярность направлений. Полезно проверить, что использованы векторы именно тех объектов, о которых спрашивают, и что ненулевые условия выполнены. Затем формулируют ответ геометрическим языком.
| Что требуется установить | Векторная запись | Что проверить |
|---|---|---|
| Параллельность двух прямых | u = λv | u и v — ненулевые направляющие векторы; λ — число |
| Параллельность прямой и плоскости | u = αa + βb | u — направляющий вектор прямой, a и b задают направления плоскости |
| Параллельность двух плоскостей | Направления одной плоскости выражаются через направления другой | В каждой плоскости выбраны два независимых направления |
| Перпендикулярность прямых | u · v = 0 | u и v — направляющие векторы прямых |
| Угол между векторами | cos φ = (u · v)/(|u||v|) | Найдены скалярное произведение и длины обоих векторов |
Сначала выберите строку, соответствующую вопросу задачи, затем запишите нужные векторы через выбранный базис. После вычислений проверьте условия из третьего столбца: именно они связывают алгебраическое равенство с геометрическим выводом.
В тетраэдре ABCD выразим вектор CD через векторы, выходящие из вершины A. Обозначим AB = a, AC = b, AD = c. Такая запись выбирает общее начало для трёх базисных векторов и позволяет использовать правило разности радиус-векторов. Нужно получить вектор именно от C к D, поэтому порядок концов важен.
Поскольку AC = b и AD = c, радиус-векторы C и D относительно A равны b и c.
Применяем правило: CD = AD − AC = c − b. Если бы требовался вектор DC, порядок был бы обратным: DC = b − c.
Проверяем смысл: выражение c − b ведёт сначала от A к D, а затем от C к A, то есть в сумме даёт перемещение от C к D.
Ответ: CD = c − b.
Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ — параллелепипед. Проверим параллельность ребра AB и диагонали D₁C. Обозначим AB = a, AD = b, AA₁ = c. Выбор векторов трёх рёбер из A удобен, потому что все вершины можно выразить через эти направления.
Направляющий вектор ребра AB равен a.
Вектор AD₁ равен b + c, так как можно пройти из A в D, а затем параллельно ребру AA₁. При этом DC = a, поэтому D₁C = D₁D + DC = −c + a = a − c.
Для параллельности требовалась бы пропорциональность a и a − c. В общем случае такой пропорциональности нет, поэтому из условий о произвольном параллелепипеде параллельность не следует. Этот расчёт показывает, почему направляющие векторы нужно сравнивать, а не судить по рисунку.
Ответ: ребро AB и диагональ D₁C в общем случае не параллельны.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD найдём угол между боковым ребром SA и диагональю основания AC. Пусть O — центр квадратного основания, SO = h, OA = r. Выберем взаимно перпендикулярные направления в плоскости основания так, чтобы OB было перпендикулярно OA; для вычисления можно воспользоваться координатами O(0, 0, 0), A(r, 0, 0), C(−r, 0, 0), S(0, 0, h). Угол между отрезками рассматриваем по направлению от S к A и от A к C либо через удобные векторы SA и AC.
По координатам SA = (r, 0, −h), а AC = (−2r, 0, 0).
Скалярное произведение SA · AC = −2r². Длины равны |SA| = √(r² + h²) и |AC| = 2r.
Получаем cos φ = −r/√(r² + h²) для угла между SA и AC. Если нужен меньший угол между прямыми, берут острый угол, его косинус равен r/√(r² + h²).
Ответ: угол между направлениями SA и AC определяется формулой cos φ = −r/√(r² + h²); меньший угол между прямыми имеет косинус r/√(r² + h²).
Координаты точки иногда принимают за вектор между двумя точками. Это происходит потому, что обе записи выглядят как набор чисел, но радиус-вектор показывает положение относительно начала, а вектор AB — перемещение от A к B. Проверка простая: вычтите радиус-вектор начала из радиус-вектора конца, то есть AB = rB − rA.
Ещё одна ошибка — считать любые векторы одной плоскости параллельными. Они действительно лежат в общей плоскости, но могут задавать разные направления, поэтому для параллельности нужна пропорциональность. Чтобы проверить вывод, запишите один вектор как λ, умноженное на другой; если единого коэффициента нет, параллельность не доказана.
Перпендикулярность часто определяют «на глаз» по чертежу. Перспективное изображение искажает углы, поэтому визуально прямой угол может оказаться не прямым. Найдите направляющие векторы и вычислите их скалярное произведение: ноль подтверждает перпендикулярность, а ненулевое значение — нет.
Случайный выбор базисных векторов делает вычисления громоздкими и затрудняет проверку коэффициентов. Так бывает, когда не используют рёбра или направления, уже выделенные условием. Сверьтесь с рисунком и описанием: базис должен позволять выразить нужные векторы через простые перемещения, а каждый коэффициент — иметь понятный источник в геометрии задачи.
Для работы с векторным методом нужно уметь складывать и вычитать векторы, умножать их на число и находить скалярное произведение. Эти действия связывают вычисления с изученными свойствами параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Метод пригодится в задачах на углы, расстояния и взаимное расположение объектов. Поэтому он соединяет алгебраические операции с геометрическими выводами.
Начало отсчёта и базис выбирают так, чтобы упростить вычисления.
Вектор между точками равен разности их радиус-векторов.
Параллельные ненулевые векторы пропорциональны.
Для проверки перпендикулярности используют скалярное произведение.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.
Векторные вычисления должны завершаться ответом на исходный геометрический вопрос.
Как выбрать базисные векторы для стереометрической задачи?
Обычно выбирают векторы рёбер или других отрезков, уже заданных условием. Удобно, если они выходят из одной точки и позволяют выразить через себя остальные нужные векторы. Такой выбор сокращает число вычислений.
Как найти вектор между двумя точками, если известны их радиус-векторы?
Если радиус-векторы точек A и B равны rA и rB, то вектор AB = rB − rA. Вычитают радиус-вектор начала из радиус-вектора конца. Например, при rA = a и rB = b получаем AB = b − a.
Как с помощью векторов доказать параллельность прямых?
Нужно взять направляющие векторы прямых и проверить, пропорциональны ли они. Если один вектор равен числу, умноженному на другой, направления параллельны. При доказательстве следует учитывать, что направляющие векторы должны быть ненулевыми.
Как проверить, перпендикулярны ли две прямые в пространстве?
Найдите направляющие векторы прямых и вычислите их скалярное произведение. Если оно равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит, перпендикулярны направления прямых. Положение прямых — пересекаются они или скрещиваются — при проверке направлений не меняет вычисление.
Почему векторный метод помогает решать задачи без точного чертежа?
Вычисления опираются на заданные отношения и свойства векторов, а не на вид или масштаб рисунка. Векторы позволяют точно выразить направления и проверить нужные условия. Чертёж остаётся полезной подсказкой, но не служит доказательством.
23.4. Применение векторного метода к решению стереометрических задач
