23.3. Признак перпендикулярности двух векторов

Определения и обозначения

Перпендикулярные векторы — ненулевые векторы, угол между которыми равен 90°. Направления векторов при этом образуют прямой угол, даже если сами векторы отложены от разных точек. Условие ненулевости обязательно: только у такого вектора есть направление. Это определение позволяет описывать взаимное положение векторов численно и геометрически.

Угол между векторами — угол между их сонаправленными лучами, то есть лучами, которые имеют направления этих векторов. Чтобы его определить, векторы можно перенести так, чтобы их начала совпали, не меняя направлений и длин. Угол берут от 0° до 180°. Он нужен, в частности, чтобы использовать косинус при вычислении скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: a·b = |a||b| cos φ. Здесь |a| и |b| обозначают длины векторов, а φ — угол между ними. Результат является числом, а не вектором. Эта формула связывает геометрическое положение векторов с вычислениями.

Признак перпендикулярности двух векторов утверждает: ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Слова «тогда и только тогда» означают, что условие работает в обе стороны. Можно установить перпендикулярность вычислением, а можно по известной перпендикулярности заключить, что произведение равно нулю. В координатах это особенно удобно проверять.

Как это устроено

По формуле a·b = |a||b| cos φ скалярное произведение зависит от длин векторов и косинуса угла. Если угол равен 90°, то cos 90° = 0, поэтому произведение длин на косинус тоже равно нулю. Значит, для перпендикулярных векторов скалярное произведение обязательно нулевое. Именно так из формулы получается первая часть признака.

Обратное утверждение опирается на то, что длины ненулевых векторов положительны. Если a·b = 0, то из формулы следует cos φ = 0: делить на ноль нельзя, но на произведение положительных длин делить можно. На промежутке от 0° до 180° косинус обращается в ноль только при φ = 90°. Поэтому нулевое произведение ненулевых векторов означает именно прямой угол, а не какой-либо другой.

На плоскости пусть a = (a₁; a₂), а b = (b₁; b₂). Их скалярное произведение по координатам равно a₁b₁ + a₂b₂, поэтому достаточно проверить, обращается ли эта сумма в ноль. Например, координаты (3; 2) и (2; −3) дают сумму 3 · 2 + 2 · (−3) = 0. Поскольку оба вектора ненулевые, они перпендикулярны.

В пространстве добавляется третья координата: для a = (a₁; a₂; a₃) и b = (b₁; b₂; b₃) произведение равно a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Следовательно, признак имеет вид a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0. Координаты учитываются попарно: первая с первой, вторая со второй, третья с третьей. Условие остаётся тем же, меняется лишь число слагаемых.

Если в координатах есть неизвестная величина, её не нужно угадывать: подставьте координаты в формулу скалярного произведения и приравняйте результат к нулю. Полученное уравнение решают относительно параметра. Затем проверьте, что оба вектора при найденном значении ненулевые, иначе вывод о перпендикулярности неприменим. Такой способ одинаково работает на плоскости и в пространстве.

Признак перпендикулярности векторов в разных формах

Сначала определите, как заданы векторы: через длины и угол или через координаты. Затем вычислите скалярное произведение подходящим способом и проверьте, равно ли оно нулю. Вывод о перпендикулярности делайте только для ненулевых векторов.

Разбор задач

В задаче даны a = (1; 2; −2) и b = (2; −1; 0). Нужно выяснить, перпендикулярны ли эти векторы. Оба вектора ненулевые, поскольку в каждом есть координаты, отличные от нуля. Поэтому можно применить координатный признак и вычислить скалярное произведение.

1. Перемножаем соответствующие координаты: 1 · 2, 2 · (−1) и (−2) · 0. Это даёт произведения 2, −2 и 0. Такое сопоставление координат следует из формулы скалярного произведения.
2. Складываем результаты: a·b = 2 − 2 + 0 = 0. Нулевая сумма является условием перпендикулярности. Значит, векторы перпендикулярны.

Теперь найдём k, при котором a = (k; 1; 2) и b = (2; 3; −1) перпендикулярны. Значение параметра влияет на первую координату a, поэтому скалярное произведение станет выражением с k. Приравнивание этого выражения к нулю даст уравнение.

1. Записываем произведение по координатам: a·b = k · 2 + 1 · 3 + 2 · (−1). Получаем 2k + 3 − 2 = 2k + 1. Каждый член возникает из произведения координат с одинаковыми номерами.
2. Применяем признак: 2k + 1 = 0. Отсюда 2k = −1 и k = −½. При этом векторы ненулевые: у первого есть координаты 1 и 2, у второго — 2 и 3. Ответ: k = −½.

В последней задаче заданы A(1; 2; 0), B(4; 0; 1), C(−1; 1; 2), D(t; 3; −1). Требуется подобрать t так, чтобы AB и CD были перпендикулярны. Сначала строим координаты направляющих векторов, соблюдая порядок букв: из координат конечной точки вычитаем координаты начальной. Это важно, поскольку AB и BA направлены противоположно.

1. Находим AB = B − A = (4 − 1; 0 − 2; 1 − 0) = (3; −2; 1). Аналогично CD = D − C = (t − (−1); 3 − 1; −1 − 2) = (t + 1; 2; −3). Обе формулы получены вычитанием координат начала из координат конца.
2. Приравниваем скалярное произведение к нулю: 3(t + 1) + (−2) · 2 + 1 · (−3) = 0. После раскрытия скобок получаем 3t + 3 − 4 − 3 = 0, то есть 3t − 4 = 0. Отсюда t = 4/3; векторы ненулевые, значит, это значение подходит.

Типичные ошибки

Нельзя проверять перпендикулярность нулевого вектора так, будто у него есть угол с другим вектором. Ошибка возникает потому, что его скалярное произведение действительно равно нулю, и это можно принять за достаточное основание. Но угол с нулевым вектором не определён, а признак требует ненулевых векторов. Проверьте координаты: если все координаты одного вектора нулевые, не делайте вывод об угле.

Иногда координаты попарно перемножают, но забывают сложить полученные произведения. Так скалярное произведение подменяется набором отдельных чисел, хотя признак проверяет именно их сумму. Выпишите выражение целиком: a₁b₁ + a₂b₂, а в пространстве добавьте a₃b₃. В конце сравните общую сумму с нулём.

При поиске координат AB можно вычесть координаты B из координат A и получить координаты BA. Путаница появляется, если не следить за порядком точек в обозначении вектора. Для AB правило такое: координаты B минус координаты A; полезно отдельно записать эту разность до подстановки чисел. Проверка: вектор BA должен получаться противоположным вектору AB.

Одна пара противоположных координат или наличие нулевой координаты сами по себе не доказывают перпендикулярность. Такие наблюдения кажутся убедительными, но решающим является нулевое значение суммы всех попарных произведений. Не делайте вывод по отдельной координате: вычислите всё скалярное произведение. Например, нулевое слагаемое не мешает остальным дать ненулевую сумму.

Связь с другими темами

Для применения признака нужно уметь вычислять скалярное произведение и находить координаты вектора по координатам его начала и конца. Это связывает тему с координатным методом и действиями над векторами. Далее признак помогает исследовать перпендикулярность прямых через их направляющие векторы, а также решать задачи о плоскостях. Он подготавливает использование векторов для нахождения углов и решения пространственных геометрических задач.

Что запомнить

• Перпендикулярные векторы — ненулевые векторы с углом 90°.
• Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• На плоскости условие имеет вид a₁b₁ + a₂b₂ = 0.
• В пространстве условие имеет вид a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0.
• Для проверки перпендикулярности сначала правильно находят координаты обоих векторов.
• Если скалярное произведение не равно нулю, векторы не перпендикулярны.