25.1. Уравнение сферы

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной точки. Это именно поверхность, а не всё пространство внутри неё. Тело, состоящее из сферы и её внутренней области, называют шаром.

Центр сферы — точка, от которой все точки сферы находятся на одинаковом расстоянии. Обычно центр обозначают буквой O. Зная его положение, можно описать, где расположена сфера в пространстве.

Радиус сферы — расстояние от центра до любой точки сферы. Центр обозначим O, а радиус — R, причём для настоящей сферы R > 0. Одно и то же значение R подходит для каждой точки поверхности.

Уравнение сферы — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек сферы и только они. Поэтому по уравнению можно описывать поверхность вычислительно. Подстановка координат точки позволяет проверить её принадлежность сфере.

Как это устроено

Выберем прямоугольную систему координат в пространстве и пусть центр сферы имеет координаты (a, b, c), а радиус равен R. Такое обозначение удобно: координаты центра показывают положение сферы, а R — её размер. Произвольную точку поверхности обозначим M(x, y, z).

Расстояние между M(x, y, z) и центром O(a, b, c) равно √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²). Поскольку M лежит на сфере, это расстояние должно быть равно R. Так координатное условие принадлежности поверхности превращается в равенство расстояний.

Возведём равенство в квадрат, чтобы убрать корень: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Ему удовлетворяют ровно точки сферы, потому что левая часть является квадратом расстояния от точки до центра. Равенство R² означает, что расстояние равно R, а именно это и определяет сферу.

Если центр находится в начале координат, то a = b = c = 0. Подстановка этих значений в общую формулу даёт x² + y² + z² = R². Значит, это не новая формула, а частный случай уравнения сферы.

По стандартному уравнению центр читают из скобок, а радиус — из правой части после извлечения корня. Например, (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 25 задаёт центр (2, −1, 3) и радиус 5. Обратно, для заданных центра и радиуса достаточно подставить их в стандартную формулу; при R > 0 получается сфера.

Виды уравнения сферы и их параметры

Сначала определите, в каком виде записано уравнение, а затем найдите центр и радиус по соответствующей строке. Для общего уравнения обычно требуется выделить полные квадраты. Если подкоренное выражение положительно, радиус действителен и уравнение задаёт сферу.

Разбор задач

Задача 1

Составить уравнение сферы с центром O(0, 0, 0) и радиусом 4. Центр совпадает с началом координат, поэтому можно использовать упрощённую форму. Остаётся возвести радиус в квадрат.

1. Подставляем центр (0, 0, 0) в формулу: x² + y² + z² = R².
2. Вычисляем R² = 4² = 16.
3. Получаем уравнение x² + y² + z² = 16.

Ответ: x² + y² + z² = 16.

Задача 2

Записать уравнение сферы с центром C(2, −1, 3), проходящей через точку A(5, 3, 3). Радиус неизвестен, но точка A лежит на сфере, поэтому радиус равен расстоянию CA. Найдём это расстояние, а затем подставим его квадрат в стандартную форму.

1. Вычисляем разности координат: 5 − 2 = 3, 3 − (−1) = 4, 3 − 3 = 0.
2. Получаем CA² = 3² + 4² + 0² = 25, значит, R = 5.
3. Подставляем центр и R² = 25: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 25.

Ответ: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 25.

Задача 3

Определить центр и радиус сферы x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z − 6 = 0. Сгруппируем слагаемые по переменным и перенесём постоянный член. Затем выделим полные квадраты, чтобы увидеть стандартную форму.

1. Записываем x² − 4x + y² + 6y + z² − 2z = 6.
2. Дополняем до квадратов: (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 + (z − 1)² − 1 = 6.
3. Переносим числа вправо: (x − 2)² + (y + 3)² + (z − 1)² = 20.

Ответ: центр (2, −3, 1), радиус √20 = 2√5.

Типичные ошибки

Первая ошибка — называть сферой всё внутреннее пространство вместе с поверхностью. Так обычно происходит из-за смешения бытового и геометрического смысла слова. Проверьте себя: у точек сферы расстояние до центра ровно R, а у внутренних точек оно меньше R.

Вторая ошибка — записывать справа радиус R вместо R². Причина в том, что исходно равны расстояния, а после применения формулы расстояния равенство возводят в квадрат. Проверьте степень: в левой части стоят квадраты разностей координат, значит, справа должен стоять R².

Третья ошибка — неверно определять знак координаты центра. В выражении (x − a)² координата равна a, поэтому (x + 2)² = (x − (−2))² задаёт координату −2. Для проверки мысленно представьте скобку именно в виде x − a.

Четвёртая ошибка — потерять постоянное слагаемое при выделении полного квадрата. Например, x² − 4x превращается не просто в (x − 2)², а в (x − 2)² − 4. После преобразования раскройте скобки обратно и проверьте, что исходное уравнение восстановилось.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения сферы нужны координаты точек в пространстве и формула расстояния между двумя точками. Поэтому полезно уверенно работать с разностями координат и квадратными корнями. Эти навыки напрямую используются при подстановке точки в уравнение.

Уравнение сферы применяют при изучении взаимного расположения точек и плоскостей. Оно также служит примером уравнения поверхности в пространстве. Сравнивая расстояния и координатные уравнения, можно исследовать пересечения и положение геометрических объектов.

Что запомнить

• Сфера — поверхность, а шар включает внутреннюю область.
• Стандартное уравнение сферы с центром (a, b, c) и радиусом R: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
• Центр сферы — (a, b, c), радиус — R.
• Если центр находится в начале координат, уравнение имеет вид x² + y² + z² = R².
• Чтобы найти радиус, используют расстояние от центра до любой точки сферы.
• При приведении общего уравнения к стандартному виду удобно выделять полные квадраты.