3.2. Уравнение сферы

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от одной точки. Это поверхность, а не заполненное тело: точки внутри неё в сферу не входят. Такое различие помогает не путать сферу с шаром и точно понимать, какие точки описывает её уравнение.

Центр сферы — точка, от которой все точки сферы находятся на одинаковом расстоянии. Обычно центр обозначают C(a, b, c), где a, b, c — его координаты. Знание центра позволяет задать положение сферы в пространстве.

Радиус сферы — расстояние от её центра до любой точки сферы. Радиус обозначают R; он положителен и одинаков для всех точек поверхности. По радиусу можно определить размер сферы, а вместе с координатами центра — записать её уравнение.

Уравнение сферы — уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек сферы и только они. Если координаты точки ему не удовлетворяют, эта точка не лежит на поверхности. Поэтому уравнение служит способом описать сферу числами и проверить положение точек.

Как это устроено

Пусть центр сферы — C(a, b, c), а произвольная точка поверхности — M(x, y, z). Чтобы узнать расстояние MC, используем формулу расстояния между точками в пространстве: MC = √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²). Разности координат показывают, насколько точки отличаются по каждому из трёх направлений. Квадратный корень из суммы квадратов этих разностей даёт длину отрезка между точками.

Точка M лежит на сфере тогда и только тогда, когда расстояние до центра равно радиусу: MC = R. Подставляем формулу расстояния и получаем √((x − a)² + (y − b)² + (z − c)²) = R. Обе части можно возвести в квадрат, потому что расстояние и радиус неотрицательны; корень исчезает. В итоге выходит (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² — уравнение сферы.

В стандартной записи уравнения центр виден внутри скобок, а радиус — справа: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Поэтому центр имеет координаты C(a, b, c), радиус равен R, если R положителен. Знаки внутри скобок противоположны знакам координат центра: например, x + 3 можно прочитать как x − (−3), значит первая координата центра равна −3. Это сопоставление позволяет извлечь параметры без дополнительного преобразования.

Если центр совпадает с началом координат O(0, 0, 0), то a, b и c равны нулю. Подстановка этих значений убирает скобки: x² + y² + z² = R². Упрощение объясняется тем, что расстояние от точки M до начала координат равно √(x² + y² + z²). Такая запись удобна, когда сфера расположена симметрично относительно начала координат.

Чтобы проверить, лежит ли заданная точка на сфере, подставляем её координаты вместо x, y и z. Затем сравниваем левую и правую части: равенство означает, что расстояние от точки до центра точно равно радиусу. Если сумма квадратов оказалась меньше R², точка находится внутри шара, а если больше — снаружи. Для принадлежности именно сфере требуется равенство, а не просто близость к радиусу.

Уравнения сферы и их параметры

В первых двух строках центр и радиус читаются непосредственно, а в третьей сначала нужно преобразовать уравнение. При выделении квадратов получится стандартная запись, по которой и определяются параметры. После преобразования проверьте, что квадрат радиуса положителен.

Разбор задач

Задача 1. Записать уравнение сферы с центром C(2, −1, 3) и радиусом 4. Нужно подставить координаты центра в соответствующие скобки, помня о знаке каждой координаты. Затем возвести радиус в квадрат и записать равенство.

1. Начинаем со стандартной формы: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Она подходит, потому что в условии известны и центр, и радиус.
2. Подставляем a = 2, b = −1, c = 3 и R = 4. Получаем (x − 2)² + (y − (−1))² + (z − 3)² = 4².
3. Упрощаем двойной минус и вычисляем квадрат радиуса. Уравнение сферы: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 16.

Ответ: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 16.

Задача 2. Определить, принадлежит ли точка M(1, 2, 2) сфере x² + y² + z² = 9. Правая часть равна квадрату радиуса, а центр находится в начале координат. Проверим, дают ли координаты точки нужную сумму квадратов.

1. Подставляем координаты точки вместо переменных. Левая часть становится 1² + 2² + 2².
2. Вычисляем сумму: 1 + 4 + 4 = 9. Она совпадает с правой частью уравнения.
3. Значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Точка лежит на сфере.

Ответ: точка M принадлежит сфере.

Задача 3. Найти центр и радиус сферы x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z − 2 = 0. Сначала сгруппируем слагаемые по переменным, чтобы выделить квадрат для каждой координаты. Затем перенесём постоянные числа и сравним результат со стандартным уравнением.

1. Сгруппируем и перенесём свободный член: (x² − 4x) + (y² + 6y) + (z² − 2z) = 2. Такое расположение позволяет выделять квадраты, не смешивая разные переменные.
2. Дополняем каждую группу до полного квадрата: x² − 4x = (x − 2)² − 4; y² + 6y = (y + 3)² − 9; z² − 2z = (z − 1)² − 1. Подставляем эти выражения: (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 + (z − 1)² − 1 = 2.
3. Переносим −4, −9 и −1 вправо, получая (x − 2)² + (y + 3)² + (z − 1)² = 16. Сравнение со стандартным видом показывает центр C(2, −3, 1), а радиус равен √16 = 4.

Ответ: центр C(2, −3, 1), радиус 4.

Типичные ошибки

Путать сферу и шар. Иногда сферой называют всё тело, потому что в быту слова используют близко по смыслу. Но в задаче о принадлежности точка внутри шара не считается точкой сферы. Проверка: для сферы расстояние до центра должно быть ровно R, а не меньше R.

Забывать возвести радиус в квадрат. После возведения расстояния в квадрат справа должно стоять R², а не R. Ошибка возникает, если сразу записать итоговую формулу, не проследив за преобразованием. Проверьте размерность вычисления: сумма квадратов координатных разностей сравнивается с квадратом длины.

Неверно учитывать знаки координат центра. В скобке стоит x − a, а не x + a без учёта смысла знака. Поэтому из (x + 3)² следует координата центра −3, поскольку x + 3 = x − (−3). Для самопроверки раскройте скобку и сопоставьте коэффициент при переменной: −2a должен совпасть с ним.

Ошибаться при выделении квадратов. Например, выражение x² − 4x дополняют до квадрата как (x − 2)², но при этом добавили 4. Если не учесть это число в равенстве или перенести его с неверным знаком, изменится радиус. Проверка: раскройте полученные скобки и убедитесь, что исходное уравнение восстановилось.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения сферы нужна формула расстояния между двумя точками в пространстве и умение работать с координатами. В задачах координатной стереометрии уравнение помогает исследовать взаимное расположение сферы и плоскости. Тема продолжает изучение уравнения окружности: для окружности достаточно двух координат, а в пространстве к ним добавляется третья. Поэтому в формуле сферы появляется ещё одно слагаемое — квадрат разности координат z.

Что запомнить

• Сфера — множество точек, удалённых от центра на расстояние R.
• Уравнение сферы с центром C(a, b, c): (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
• При центре в начале координат: x² + y² + z² = R².
• Радиус сферы положителен.
• Точка принадлежит сфере, если её координаты удовлетворяют уравнению.
• Чтобы определить центр и радиус из общего уравнения, выделяют полные квадраты.