"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сфера и плоскость могут не иметь общих точек, касаться в одной точке или пересекаться по окружности. Чтобы определить случай, сравнивают радиус сферы с расстоянием от её центра до плоскости. Если плоскость пересекает сферу, радиус окружности сечения находят по теореме Пифагора: r = √(R² − d²). Эти правила помогают решать задачи о сечениях и касательных, не пытаясь представить каждое положение фигуры на глаз.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — множество точек пространства, находящихся на одном и том же расстоянии от заданной точки. Эта точка называется центром сферы, а общее расстояние до точек сферы — её радиусом R. Центр задаёт положение сферы, а радиус определяет её размер. В задачах будем сравнивать R с расстоянием от центра до плоскости.
Расстояние от центра сферы до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из центра на плоскость; обозначим его d. Перпендикуляр — кратчайший отрезок от точки до плоскости, поэтому именно его длина показывает, насколько близко плоскость проходит к центру. Это расстояние не следует смешивать с длиной отрезка, лежащего в плоскости.
Секущая плоскость сферы — плоскость, имеющая со сферой общие точки. Если таких точек больше одной, их множество образует окружность: все они лежат в плоскости и одинаково удалены от её центра сечения. Это позволяет описывать сечение одним числом — радиусом окружности.
Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Определение помогает отличить касание от пересечения: при пересечении общих точек целая окружность, а не одна точка.
Пусть центр сферы находится на расстоянии d от плоскости, а радиус сферы равен R. Если d меньше R, перпендикуляр из центра достигает плоскости раньше, чем заканчивается радиус сферы: плоскость проходит внутри сферы. Поэтому в ней находятся точки сферы, и плоскость пересекает сферу по окружности. Если d сравнить с R, можно определить положение, не строя изображение.
Чтобы увидеть, почему сечение является окружностью, опустим перпендикуляр из центра сферы на секущую плоскость. Его основание служит центром сечения. Для любой точки окружности сечения радиус сферы, отрезок от основания перпендикуляра до этой точки и сам перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. Гипотенуза в нём равна R, один катет — d, другой — радиус сечения r.
Из теоремы Пифагора следует R² = d² + r². Выразив неизвестный катет, получаем r² = R² − d², а значит, r = √(R² − d²). Подкоренное выражение положительно именно тогда, когда d < R, то есть когда сечение действительно является окружностью. Чем ближе плоскость к центру, тем меньше d и тем больше радиус сечения.
Если d = R, основание перпендикуляра находится на самой сфере: длина от центра до этой точки уже равна радиусу. Все остальные точки плоскости дальше от центра, поэтому на сфере остаётся только одна общая точка — точка касания. Радиус, проведённый в неё, совпадает с перпендикуляром к плоскости, а значит, перпендикулярен касательной плоскости.
Если d > R, даже ближайшая к центру точка плоскости удалена от центра дальше, чем любая точка сферы. Поэтому ни одна точка плоскости не может принадлежать сфере, и общих точек нет. Так геометрическое сравнение расстояния и радиуса объясняет все три возможных положения. Оно же подсказывает, какую формулу применять в задаче.
| Условие | Взаимное расположение | Число общих точек | Что образуют общие точки |
|---|---|---|---|
| d < R | Плоскость пересекает сферу | Бесконечно много | Окружность |
| d = R | Плоскость касается сферы | Одна | Точку касания |
| d > R | Плоскость не пересекает сферу | Ноль | Общих точек нет |
Сначала определи R и d, затем найди в таблице подходящее неравенство. Если d < R, можно дополнительно найти радиус сечения по формуле r = √(R² − d²). При d = R формулу для окружности сечения применять не нужно: остаётся одна точка.
Здесь известны радиус сферы R = 5 см и расстояние d = 3 см. Сначала сравним эти величины: это покажет, существует ли окружность сечения. Затем найдём её радиус, связав его с R и d прямоугольным треугольником.
Ответ: плоскость пересекает сферу по окружности радиуса 4 см. Проверка по теореме Пифагора: 3² + 4² = 5², значит, найденные длины согласуются.
В задаче даны гипотенуза R = 13 см и радиус сечения r = 5 см. Расстояние d — второй катет прямоугольного треугольника. Из теоремы Пифагора выразим его, а затем выберем неотрицательное значение, поскольку расстояние не бывает отрицательным.
Ответ: 12 см. Поскольку радиус сечения меньше радиуса сферы, плоскость проходит внутри сферы и пересекает её по окружности.
Нужно сначала определить радиус окружности сечения, а уже потом найти её площадь. Поскольку расстояние 6 см меньше радиуса 10 см, сечение существует. Для перемещённой плоскости точное новое расстояние не дано, поэтому можно определить только направление изменения площади.
Ответ: площадь сечения равна 64π см²; при перемещении плоскости ближе к центру площадь увеличится. Численное значение новой площади без нового расстояния найти нельзя.
Сравнивают радиус сечения с радиусом сферы вместо расстояния до плоскости. Такое сравнение не отвечает на вопрос о взаимном расположении: его определяет именно d относительно R. Ошибка возникает, когда начинают считать по формуле до выяснения, пересекает ли плоскость сферу. Для проверки подпиши величины и сначала сравни расстояние от центра до плоскости с радиусом сферы.
Принимают расстояние от центра до плоскости за радиус сечения. Эти отрезки направлены по-разному: d перпендикулярно плоскости, а r лежит в плоскости. Их путают, если не отмечают прямой угол и основание перпендикуляра. Проверь схему: d и r должны быть катетами, а R — гипотенузой прямоугольного треугольника.
Используют формулу r = √(R² + d²). Прибавление квадратов нарушает теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, поэтому здесь R² = d² + r². Ошибка часто появляется при неверном переносе слагаемого. Подставь формулу в равенство и проверь, что d² + r² действительно даёт R².
Считают плоскость касательной при d < R. В этом случае центр ближе к плоскости, чем точки сферы на радиусе, поэтому плоскость проходит через сферу и даёт окружность общих точек. Одну точку касания получают только при d = R. Сверь условие с таблицей и не называй сечение касанием.
Для работы с темой нужны определения сферы, её центра и радиуса, а также понимание перпендикуляра и расстояния от точки до плоскости. Теорема Пифагора связывает радиус сферы, радиус сечения и расстояние до плоскости: d² + r² = R². Эти знания пригодятся при изучении взаимного расположения прямой и сферы, касательных и сечений тел плоскостями. Во всех таких задачах важно сначала определить геометрический смысл каждого отрезка.
Как быстро определить, пересекает ли плоскость сферу?
Найди расстояние d от центра сферы до плоскости и сравни его с радиусом R. При d < R плоскость пересекает сферу, при d = R касается её, а при d > R общих точек нет.
Почему общие точки секущей плоскости со сферой образуют окружность?
Все общие точки лежат в одной плоскости и находятся на одинаковом расстоянии от основания перпендикуляра, опущенного из центра сферы. Поэтому они образуют окружность с центром в этом основании.
Как найти радиус окружности сечения?
Если радиус сферы равен R, а расстояние от её центра до секущей плоскости равно d, используй формулу r = √(R² − d²). Она следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника.
Чем расстояние от центра до плоскости отличается от радиуса сечения?
Расстояние d — это длина перпендикуляра от центра сферы до плоскости. Радиус r лежит в плоскости и соединяет основание этого перпендикуляра с точкой окружности сечения; эти отрезки не равны.
Как доказать, что плоскость является касательной к сфере?
Нужно показать, что расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Тогда плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку, а радиус, проведённый в неё, перпендикулярен плоскости.
3.3. Взаимное расположение сферы и плоскости
