"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Касательная плоскость встречает сферу только в одной точке. Главный ориентир для её распознавания — радиус, проведённый в точку касания: он перпендикулярен плоскости. Поэтому касание можно проверить двумя способами: по перпендикулярности радиуса и по расстоянию от центра сферы до плоскости. Сравнение этого расстояния с радиусом также показывает, не пересекает ли плоскость сферу или образует с ней окружность.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сфера — множество точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром сферы, а заданное расстояние — её радиусом; обычно радиус обозначают R. Например, все точки сферы с центром O удалены от O на R. Это определение позволяет отличать сферу от шара, который включает ещё и точки внутри неё.
Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Такое положение отличается от пересечения по окружности и от отсутствия общих точек. Понятие помогает описать, как плоскость касается поверхности сферы, и даёт способ распознавать касание через геометрические свойства.
Точка касания — единственная общая точка касательной плоскости и сферы. Если центр сферы O, а точка касания A, отрезок OA является радиусом сферы; его называют радиусом точки касания. Обозначение этой точки и радиуса удобно для доказательств: именно связь OA с плоскостью определяет, будет ли она касательной.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Представим, что OA не перпендикулярен плоскости: тогда в плоскости через A можно выбрать направление, в котором расстояние от O сначала уменьшается. Точки этого направления, достаточно близкие к A, окажутся внутри сферы, а значит, плоскость пересечёт сферу и в других точках. Это противоречит определению касательной, поэтому OA перпендикулярен плоскости.
Признак касательной плоскости формулируется так: если плоскость проходит через точку A сферы и перпендикулярна радиусу OA, она касается сферы. Чтобы обосновать это, возьмём любую другую точку X этой плоскости. Так как OA перпендикулярен плоскости, треугольник OAX прямоугольный при A, и OX² = OA² + AX². При X ≠ A получаем OX > OA = R, поэтому X не лежит на сфере; общей точкой остаётся только A.
Перпендикуляр, опущенный из центра сферы на касательную плоскость, является радиусом, а его основание — точкой касания. Действительно, по свойству касательной радиус к точке касания перпендикулярен плоскости. Перпендикуляр из заданной точки к плоскости единственный, поэтому он и есть этот радиус, а его основание совпадает с точкой касания.
Отсюда получается критерий касания: плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Расстояние от точки до плоскости измеряют длиной перпендикуляра, поэтому при касании этот перпендикуляр как раз является радиусом. И наоборот, если расстояние равно радиусу, основание перпендикуляра лежит на сфере, а признак перпендикулярности радиуса и плоскости доказывает касание.
Взаимное положение плоскости и сферы определяется сравнением расстояния d от центра до плоскости с радиусом R. Если d больше R, даже ближайшая к центру точка плоскости находится дальше поверхности сферы, поэтому пересечения нет. Если d равно R, плоскость касается сферы; если d меньше R, она проходит внутри сферы и пересекает её по окружности. Для последнего случая перпендикуляр из центра к плоскости попадает в центр окружности сечения.
| Условие | Положение плоскости | Общие точки |
|---|---|---|
| Расстояние от центра до плоскости больше радиуса | Не пересекает сферу | Нет |
| Расстояние от центра до плоскости равно радиусу | Касается сферы | Одна точка |
| Расстояние от центра до плоскости меньше радиуса | Пересекает сферу | Окружность |
Чтобы воспользоваться таблицей, найдите перпендикулярное расстояние от центра сферы до плоскости и сравните его с радиусом. Равенство означает касание, а неравенство указывает на отсутствие пересечения или на сечение окружностью. Если плоскость пересекает сферу, радиус окружности сечения можно найти по теореме Пифагора.
Задача 1. Радиус сферы равен 5 см, а расстояние от её центра до плоскости — 5 см. Определите взаимное положение плоскости и сферы.
Ответ: плоскость касается сферы.
Задача 2. Дана сфера с центром O и точка A на сфере. Докажите, что плоскость, проходящая через A перпендикулярно OA, касается сферы.
Ответ: плоскость касается сферы в A.
Задача 3. В сфере радиуса 13 см расстояние от центра O до плоскости α равно 5 см. Найдите радиус окружности, по которой α пересекает сферу.
Ответ: радиус окружности сечения равен 12 см.
Ошибка: считать, что достаточно провести плоскость через точку сферы. Через эту точку можно провести и плоскости, которые проходят сквозь сферу и дают окружность сечения. Так ошибаются, забывая о втором условии касания. Проверьте, перпендикулярна ли плоскость радиусу, проведённому в данную точку.
Ошибка: проверять перпендикулярность радиуса только одной прямой в плоскости и считать этого достаточным. Перпендикулярность прямой плоскости устанавливают по двум пересекающимся прямым этой плоскости. Выберите такие прямые через точку касания и проверьте, что радиус перпендикулярен обеим; это исключает ошибку в пространственном рассуждении.
Ошибка: полагать, что расстояние от центра до плоскости должно быть меньше радиуса для касания. При меньшем расстоянии плоскость проходит через сферу и пересекает её по окружности, а касанию соответствует равенство. Для самопроверки обозначьте расстояние d и радиус R, затем отдельно рассмотрите случаи d < R, d = R и d > R.
Ошибка: называть точкой касания основание любого перпендикуляра из центра на плоскость. Основание лежит на сфере только в том случае, если расстояние до плоскости равно радиусу. Сначала сравните эти величины; лишь после проверки равенства можно заключить, что плоскость касается сферы в основании перпендикуляра.
Для работы с темой нужны определения сферы, её радиуса и плоскости, а также признак перпендикулярности прямой и плоскости. В рассуждениях о радиусе и касательной используют теорему о трёх перпендикулярах и свойства расстояния от точки до плоскости. Критерий касания помогает решать задачи о сечениях сферы: при расстоянии меньше радиуса получают окружность и находят её радиус по теореме Пифагора. Сравнение расстояния с радиусом также служит основой для изучения взаимного положения сфер и плоскостей.
Как понять, что плоскость касается сферы?
Плоскость касается сферы, если у них ровно одна общая точка. Это равносильно тому, что расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы.
Почему радиус в точку касания перпендикулярен плоскости?
Если бы радиус не был перпендикулярен плоскости, в ней нашлось бы направление, по которому от точки касания можно немного приблизиться к центру. Тогда точки плоскости оказались бы внутри сферы, а значит, плоскость пересекала бы сферу не только в точке касания.
Достаточно ли, чтобы плоскость проходила через точку сферы?
Нет. Через точку сферы можно провести множество плоскостей, и большинство из них пересечёт сферу по окружности. Для касания плоскость должна быть перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.
Как по расстоянию от центра до плоскости определить её положение относительно сферы?
Сравните расстояние d с радиусом R. При d > R общих точек нет, при d = R плоскость касается сферы, а при d < R пересекает её по окружности.
Как найти радиус окружности, по которой плоскость пересекает сферу?
Опустите перпендикуляр из центра сферы на плоскость и обозначьте его длину через d, а радиус сферы — через R. Радиус сечения r находят из прямоугольного треугольника: r = √(R² − d²).
3.4. Касательная плоскость к сфере
