67. Касательная плоскость к сфере

Определения и обозначения

Сфера — множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эту точку называют центром сферы, а расстояние от неё до любой точки сферы — радиусом; обычно радиус обозначают R. Например, если O — центр, то для каждой точки A сферы OA = R. Это описание позволяет отличать сферу от других поверхностей и определять, лежит ли точка на ней.

Касательная плоскость к сфере — плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания и часто обозначают A. В отличие от секущей плоскости, касательная не пересекает сферу по окружности. Определение помогает точно установить, какое взаимное положение плоскости и сферы рассматривается в задаче.

Радиус, проведённый в точку касания, — отрезок от центра сферы до этой точки. Если O — центр, а A — точка касания, такой радиус обозначают OA; он перпендикулярен касательной плоскости. Это свойство связывает геометрическое положение сферы с плоскостью и позволяет доказывать касание или находить расстояния.

Как это устроено

Пусть плоскость проходит через точку A сферы, а радиус OA перпендикулярен этой плоскости. Для любой другой точки X плоскости треугольник OAX прямоугольный при A. Поэтому по теореме Пифагора OX² = OA² + AX², а при X ≠ A имеем AX > 0 и OX > OA = R. Значит, X не лежит на сфере, и единственная общая точка плоскости со сферой — A.

Обратно, пусть плоскость касается сферы в точке A, а O — её центр. Перпендикуляр из O к плоскости является кратчайшим отрезком от O до этой плоскости; обозначим его основание через H. Если H не совпадает с A, то AH лежит в плоскости, а треугольник OHA прямоугольный при H. Тогда OA² = OH² + AH², откуда OH < OA = R. Но плоскость на расстоянии меньше радиуса пересекает сферу по окружности, что противоречит касанию. Следовательно, H = A, и OA перпендикулярен плоскости.

Взаимное положение плоскости и сферы зависит от расстояния d от центра до плоскости и радиуса R. Перпендикуляр от центра показывает ближайшую к центру точку плоскости. Если d < R, плоскость проходит внутри сферы и пересекает её по окружности; если d = R, ближайшая точка лежит на сфере и является единственной общей точкой. Если d > R, даже ближайшая точка плоскости дальше радиуса, поэтому общих точек нет.

Расстояние от точки до плоскости по определению измеряют длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Поэтому для проверки положения плоскости относительно сферы строят перпендикуляр именно из её центра и находят его длину. При касании основание этого перпендикуляра совпадает с точкой касания: иначе расстояние от центра до плоскости было бы меньше радиуса. Так геометрическое построение напрямую связывает расстояние d с условием касания.

Условие касания можно проверять двумя равносильными способами. Первый — вычислить расстояние d от центра до плоскости и убедиться, что d = R; второй — найти точку сферы и показать, что радиус к ней перпендикулярен плоскости. В первом случае достаточно сравнить две длины, а во втором используют свойство радиуса и признак касательной плоскости. Выбирайте способ, для которого в условии уже даны нужные данные.

Положение плоскости относительно сферы

Сначала определите радиус сферы и расстояние от её центра до плоскости, затем сравните эти величины. Равенство означает касание, а неравенства показывают, будет ли сечение окружностью или пересечения не будет. Учитывайте, что в таблице рассматривается именно сфера, а не ограниченное ею тело.

Разбор задач

Радиус сферы равен 5 см. Расстояние от её центра до плоскости равно 5 см. Определите положение плоскости относительно сферы.

1. Обозначим радиус через R, а расстояние от центра до плоскости через d. По условию R = 5 см и d = 5 см.
2. Сравним величины: d = R. Значит, плоскость находится от центра на расстоянии, равном радиусу сферы.
3. По признаку касания при d = R плоскость имеет со сферой одну общую точку. Следовательно, это касательная плоскость.

Ответ: плоскость касается сферы.

Сфера радиуса 13 см касается плоскости в точке A. Расстояние от центра сферы до точки A равно 13 см. Обоснуйте, что радиус OA перпендикулярен плоскости.

1. Обозначим центр сферы через O. Отрезок OA соединяет центр с точкой сферы A и имеет длину 13 см, то есть равен радиусу.
2. По условию плоскость касается сферы именно в A. Для касательной плоскости радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскости.
3. Применяем это свойство к радиусу OA. Значит, OA ⟂ плоскости; дополнительного вычисления для доказательства не требуется.

Ответ: OA перпендикулярен плоскости как радиус, проведённый в точку касания.

Сфера радиуса 10 см касается плоскости. Точка B лежит в этой плоскости, расстояние от точки касания A до B равно 24 см. Найдите расстояние от центра сферы до B.

1. Обозначим центр сферы через O. Радиус OA = 10 см, а AB = 24 см; поскольку плоскость касается сферы в A, OA перпендикулярен плоскости и отрезку AB.
2. Значит, треугольник OAB прямоугольный при A. Искомое расстояние OB — его гипотенуза, поэтому применяем теорему Пифагора.
3. OB² = OA² + AB² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676. Так как расстояние положительно, OB = √676 = 26 см.

Ответ: 26 см.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что плоскость касается сферы, если она просто проходит через одну из её точек. Через эту точку могут проходить и секущие плоскости, пересекающие сферу по окружности. Ошибку допускают, забывая про условие перпендикулярности радиуса. Проверьте, образует ли радиус к предполагаемой точке касания прямой угол с плоскостью, или сравните расстояние от центра с радиусом.

Иногда касание путают с пересечением по окружности. При касании общая точка ровно одна, а окружность содержит больше одной точки и означает, что плоскость секущая. Путаница возникает потому, что в обоих случаях плоскость и сфера имеют общие точки. Для проверки определите расстояние d: при d = R это касание, при d < R — окружность.

Нельзя переносить свойство перпендикулярности на произвольный отрезок, проведённый к плоскости. Перпендикулярен именно радиус из центра сферы в точку касания, а перпендикуляр из центра задаёт расстояние до плоскости. Ошибка возникает, когда за радиус принимают отрезок от другой точки или не проверяют его начало и конец. Уточните, что отрезок соединяет центр с точкой касания, и только затем используйте свойство.

Сравнивать с радиусом нужно расстояние от центра сферы до плоскости, а не расстояние от произвольной точки. Любая другая точка может находиться от плоскости на иной высоте, и её расстояние ничего не говорит о положении сферы целиком. Такая подмена часто появляется, если в условии названа точка на плоскости. Для проверки опустите перпендикуляр именно из центра сферы и сравните его длину с радиусом.

Связь с другими темами

Для изучения касательной плоскости нужно знать, что такое сфера и её радиус, а также уметь строить перпендикуляр к плоскости. Расстояние от точки до плоскости измеряется этим перпендикуляром; благодаря этому его можно сравнить с радиусом. В задачах на касание применяют также теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с радиусом и отрезком в плоскости. Тема помогает решать задачи о взаимном расположении сферы и плоскости, находить расстояния и исследовать сечения.

Что запомнить

• Касательная плоскость имеет со сферой ровно одну общую точку.
• Радиус к точке касания перпендикулярен касательной плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная радиусу в точке сферы, является касательной.
• При расстоянии от центра до плоскости, равном радиусу, плоскость касается сферы.
• Если расстояние меньше радиуса, пересечение сферы и плоскости — окружность.
• Если расстояние больше радиуса, плоскость и сфера не пересекаются.