"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Сферу можно представить как поверхность шара, но вычислить её площадь так же, как площадь плоской фигуры, нельзя: поверхность кривая. Её площадь определяют через приближение многогранниками и получают формулу S = 4πR². Для части сферы между параллельными плоскостями используют формулу S = 2πRh, где h — расстояние между плоскостями. Эти зависимости помогают решать задачи о сферических поверхностях и сравнивать их площади.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь сферы — величина, характеризующая площадь всей сферической поверхности. Поскольку сфера кривая, её площадь связывают с площадями многогранных поверхностей, которые всё точнее её приближают. Это позволяет перейти от знакомых площадей плоских граней к точному значению для сферы.
Сферический пояс — часть поверхности сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостями. В задачах обычно рассматривают его вместе с радиусом сферы R. Такое описание позволяет вычислять площадь пояса, даже если размеры ограничивающих его окружностей неизвестны.
Высота сферического пояса — расстояние между плоскостями, ограничивающими пояс. Его измеряют перпендикулярно этим плоскостям. Высота не обязана совпадать ни с длиной дуги на сфере, ни с длиной наклонного отрезка по поверхности.
Площадь сферического пояса — площадь части сферы между параллельными плоскостями. Она определяется радиусом сферы R и высотой пояса h по формуле S = 2πRh. Это удобно, поскольку в формуле не нужны радиусы окружностей, по которым плоскости пересекают сферу.
Плоскую фигуру можно разбить на простые части и сложить их площади, но сферическая поверхность не лежит в одной плоскости. Поэтому её приближают многогранной поверхностью с большим числом граней: на небольших участках кривизна заметна меньше, и грани лучше повторяют сферу. Когда грани становятся всё мельче, площадь многогранника приближается к площади сферы. Предел этих приближённых значений и задаёт площадь кривой поверхности.
Для сферического пояса результат вычисления выражается формулой S = 2πRh. Здесь R — радиус сферы, а h — высота пояса, то есть расстояние между плоскостями. Формула позволяет сразу найти площадь по этим двум величинам, не разбивая кривую поверхность на отдельные части. Например, пояс большей высоты на той же сфере имеет большую площадь пропорционально своей высоте.
Вся сфера получается, если взять пояс между двумя параллельными плоскостями, которые проходят через противоположные концы диаметра. Расстояние между такими плоскостями равно диаметру, то есть h = 2R. Подставим это значение в формулу пояса: S = 2πR · 2R = 4πR². Значит, формула площади сферы — частный случай формулы площади сферического пояса.
Положение пояса не входит в формулу: в ней есть только R и h. Если пояс сдвинуть вдоль сферы, радиусы окружностей, по которым плоскости пересекают сферу, изменятся. Однако изменение площади частей пояса компенсируется, и при тех же R и h общая площадь остаётся прежней. Поэтому для вычисления достаточно знать высоту и радиус сферы, а не расположение плоскостей.
В формуле S = 4πR² радиус возводится в квадрат, поэтому площадь меняется не так же, как радиус. Если новый радиус равен kR, то новая площадь составляет 4π(kR)² = k² · 4πR². Следовательно, при увеличении радиуса в k раз площадь увеличивается в k² раз. Например, удвоение радиуса даёт увеличение площади в четыре раза, а не в два.
В таблице собраны основные формулы и обозначения: R — радиус сферы, h — высота пояса, S — площадь. Сначала определите, требуется ли площадь всей сферы или только её части. Если известен диаметр, переведите его в радиус до подстановки.
| Объект | Формула площади | Обозначения |
|---|---|---|
| Сфера целиком | S = 4πR² | R — радиус сферы |
| Сферический пояс | S = 2πRh | R — радиус сферы, h — высота пояса |
| Связь высоты пояса с диаметром сферы | h = 2R | При таком поясе получаем всю сферу |
| Как меняется площадь при увеличении радиуса | S₂ = k²S₁ | Если R₂ = kR₁ |
Задача 1. Найти площадь сферы радиуса 3 см. Решение.
Ответ: 36π см², или примерно 113,04 см². Радиус уже дан, поэтому переводить его из диаметра не требуется. Квадрат радиуса нужно вычислить до умножения на 4π.
Задача 2. Радиус сферы равен 5 см, высота сферического пояса — 2 см. Найти площадь пояса. Решение.
Ответ: 20π см², или примерно 62,8 см². Важно подставлять именно высоту между плоскостями, а не длину участка поверхности. Обе данные величины относятся к одной и той же сфере.
Задача 3. Площадь сферы увеличилась в 9 раз. Во сколько раз изменился её радиус? Затем найти площадь пояса высотой 4 см на сфере полученного радиуса. Решение.
Ответ: радиус увеличился в 3 раза; площадь пояса равна 24πR см², где R — исходный радиус сферы. Для численного ответа на вторую часть требуется знать исходный радиус. Без него можно записать только выражение через R.
Подставлять диаметр вместо радиуса в формулу S = 4πR² — значит завысить результат в четыре раза. Так бывает, когда в условии дан диаметр и его принимают за R, не сверяясь с обозначением в формуле. Перед вычислениями разделите диаметр пополам. Проверка: радиус должен быть расстоянием от центра до поверхности.
Считать высотой пояса длину дуги на сфере неверно: h — расстояние между ограничивающими плоскостями. Ошибку провоцирует то, что пояс находится на кривой поверхности и его высота кажется похожей на длину участка этой поверхности. Найдите перпендикулярное расстояние между плоскостями. Если дан размер дуги, его нельзя без обоснования подставлять вместо h.
Забыть возвести радиус в квадрат — значит вычислить не площадь сферы по формуле, а другое выражение. Ошибка появляется, если механически умножить 4π на R и пропустить показатель степени. Записывайте подстановку как 4π · R · R. Дополнительная проверка: радиус измеряется в сантиметрах, а результат площади должен быть в квадратных сантиметрах.
Считать, что площадь пояса зависит от того, где он расположен на сфере, — неверно при одинаковых R и h. Это предположение возникает потому, что окружности-границы пояса могут иметь разные радиусы. Формула S = 2πRh показывает, что при неизменных радиусе сферы и высоте площадь остаётся одной и той же. Для проверки сравните именно R и расстояние между плоскостями, а не положение пояса.
Чтобы находить площадь сферы, полезно уверенно пользоваться формулами длины окружности и площади круга, а также различать шар и сферу. Радиус играет здесь ту же роль, что и в формулах для плоских кругов, но площадь относится к поверхности в пространстве. Эти знания помогают не путать линейные величины с площадями. Формулы применяются в задачах о шарах и телах вращения, а также при сравнении поверхностей разных тел.
Как отличить сферу от шара?
Сфера — это поверхность, состоящая из точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра. Шар включает эту поверхность и все точки внутри неё. Поэтому площадь относится к сфере, а объём — к шару.
Почему площадь сферы выражается через квадрат радиуса?
При увеличении всех линейных размеров в k раз площади поверхностей увеличиваются в k² раз. Поэтому формула площади сферы содержит квадрат радиуса. Коэффициент 4π задаёт точную связь между площадью и радиусом.
Что именно называют высотой сферического пояса?
Это расстояние между двумя параллельными плоскостями, которые ограничивают пояс. Высота измеряется по перпендикуляру к плоскостям. Она не является длиной дуги или наклонного отрезка на сфере.
Зависит ли площадь пояса от того, где он расположен на сфере?
Нет: при одинаковом радиусе сферы и одинаковой высоте пояса площади равны. Положение плоскостей меняет радиусы граничных окружностей, но их влияние на площадь пояса взаимно компенсируется.
Как изменится площадь сферы, если её радиус увеличить вдвое?
Площадь увеличится в 2² = 4 раза. Это следует из формулы S = 4πR²: радиус входит в неё в квадрате.
68. Площадь сферы
