80. Площадь сферы

Определения и обозначения

Сфера — поверхность, состоящая из точек пространства, равноудалённых от одной точки, называемой центром. Обозначим центр буквой O, а расстояние от него до любой точки сферы — буквой R. Это расстояние называется радиусом. Радиус помогает описывать размер сферы и подставляется в формулы её площади.

Площадь сферы — величина, которая характеризует размер её поверхности. Поскольку поверхность криволинейная, её площадь нельзя измерить так же, как площадь плоского многоугольника. Её определяют через приближение поверхности многогранниками: чем мельче их грани, тем точнее площадь многогранной поверхности описывает площадь сферы. Такое понимание позволяет применять к сфере привычную идею площади.

Сферический пояс — часть сферы, заключённая между двумя параллельными плоскостями. Расстояние между этими плоскостями называют высотой пояса и обозначают h. Высота измеряется перпендикулярно плоскостям. Это обозначение нужно отличать от радиуса R: оба параметра имеют размерность длины, но означают разные величины.

Площадь сферического пояса — площадь части сферической поверхности между ограничивающими её параллельными плоскостями. Для её вычисления важны радиус R всей сферы и высота h пояса. Формула связывает эти два параметра, а положение пояса на сфере в неё не входит. Поэтому, зная R и h, можно найти площадь любого такого участка.

Как это устроено

У кривой поверхности нет плоской развёртки, по которой можно было бы непосредственно сосчитать площадь. Поэтому сферу приближают вписанными многогранниками: их вершины лежат на сфере, а плоские грани постепенно становятся мельче. При измельчении граней многогранная поверхность всё точнее повторяет изгиб сферы. Предел площадей этих приближений и принимают за площадь сферы.

Рассмотрим узкий сферический пояс и опишем около него часть цилиндра с теми же ограничивающими плоскостями. Боковая поверхность цилиндра служит удобным приближением пояса: чем уже пояс, тем меньше меняется радиус сферы от одного его края к другому. Радиус цилиндра при этом равен радиусу сечения сферы, и для узкого пояса он близок к R. Поэтому площадь соответствующего участка цилиндрической боковой поверхности связана с длиной окружности основания и высотой пояса.

Боковую поверхность цилиндра можно развернуть в прямоугольник: одна его сторона равна длине окружности основания 2πR, а другая — высоте h. Площадь этого прямоугольника равна 2πR · h. При уточнении приближения к сферической поверхности получается та же зависимость, и площадь сферического пояса выражается формулой S = 2πRh. В ней участвуют радиус сферы и расстояние между плоскостями, а не ширина пояса по дуге.

Формула не содержит координат плоскостей или расстояния пояса от центра. Значит, если два пояса принадлежат одной сфере и имеют одинаковую высоту, их площади равны, даже если один расположен ближе к экватору, а другой — ближе к полюсу. Причина в том, что при смещении пояса меняются наклон поверхности и длина его окружностей, но площадь в целом сохраняет зависимость 2πRh. Так проявляется особенность сферической поверхности.

Всю сферу можно рассматривать как пояс, ограниченный двумя параллельными плоскостями, которые проходят через её крайние точки. Расстояние между ними равно диаметру, то есть 2R. Подставляя высоту h = 2R в формулу пояса, получаем S = 2πR · 2R = 4πR². Из формулы также видно, как влияет размер: если радиус заменить на kR, то площадь станет 4π(kR)² = k² · 4πR², то есть увеличится в k² раз.

Площадь сферы и её частей

Сначала определите, о какой фигуре спрашивается: обо всей сфере или только о её поясе. Для пояса нужны радиус сферы и высота между плоскостями, а для всей сферы достаточно радиуса. Если дан диаметр, перед подстановкой разделите его на два.

Разбор задач

Задача 1. Найти площадь сферы радиуса 3 см. Известен именно радиус, поэтому подходит формула полной площади сферы. Возводим радиус в квадрат и умножаем на 4π. Единица ответа должна быть квадратной, потому что вычисляется площадь.

1. Записываем формулу: S = 4πR².
2. Подставляем R = 3 см: S = 4π · 3² = 4π · 9.
3. Получаем S = 36π см², или приблизительно 113,1 см².

Ответ: 36π см² (приблизительно 113,1 см²).

Задача 2. Найти площадь сферического пояса на сфере радиуса 5 см, если высота пояса равна 2 см. Здесь требуется площадь только части поверхности, поэтому применяем формулу пояса. Важно подставить в неё высоту между плоскостями, а не длину дуги вдоль сферы. Оба значения уже даны в сантиметрах.

1. Записываем формулу: S = 2πRh.
2. Подставляем R = 5 см и h = 2 см: S = 2π · 5 · 2.
3. Выполняем умножение: S = 20π см², или приблизительно 62,8 см².

Ответ: 20π см² (приблизительно 62,8 см²).

Задача 3. Площадь сферы увеличилась в 9 раз. Нужно определить, во сколько раз изменился радиус. Поскольку радиус входит в формулу во второй степени, сравниваем не сами множители, а квадрат множителя изменения радиуса. Пусть новый радиус равен kR.

1. Записываем отношение площадей: S₂/S₁ = 4π(kR)²/(4πR²).
2. Сокращаем одинаковые множители и получаем S₂/S₁ = k².
3. По условию k² = 9, поэтому положительный множитель k = 3.

Ответ: радиус увеличился в 3 раза.

Типичные ошибки

Подставляют диаметр вместо радиуса. Так поступают, когда путают обозначения R и d: в формуле S = 4πR² требуется расстояние от центра до поверхности, а диаметр вдвое больше. Если дан диаметр, сначала найдите R = d/2, затем вычисляйте площадь. Проверка: радиус должен быть меньше диаметра ровно в два раза.

Забывают возвести радиус в квадрат. Это может произойти, если формулу запомнили как произведение чисел, не учитывая показатель степени. Без квадрата даже единицы измерения окажутся неверными: получится длина, а площадь должна измеряться в квадратных единицах. Проверьте запись формулы и наличие см², м² или другой квадратной единицы в ответе.

Считают h длиной дуги или наклонным отрезком. Такая ошибка возникает потому, что пояс лежит на кривой поверхности, и его границы можно представить как дуги. Но h в формуле S = 2πRh — это расстояние между ограничивающими параллельными плоскостями, измеренное перпендикулярно им. Чтобы проверить себя, мысленно измерьте промежуток напрямую от одной плоскости до другой.

Полагают, что одинаковые пояса в разных местах сферы имеют разную площадь. Внешне участки могут выглядеть неодинаково: меняются их наклон и окружности границ. Однако при одинаковых R и h формула даёт одну и ту же площадь, потому что положение пояса в неё не входит. Проверка проста: подставьте параметры обоих поясов; если они совпадают, совпадут и результаты.

Связь с другими темами

Для вычисления площади сферы полезны формула площади круга и формула боковой поверхности цилиндра: последняя помогает понять появление множителя 2πR в площади пояса. Также нужно различать радиус, диаметр и высоту, поскольку они обозначают разные отрезки. Формулы пригодятся в задачах на сочетания геометрических тел и на вычисление поверхности сферических объектов. Перед решением таких задач важно определить, требуется площадь всей сферы или только её части.

Что запомнить

• Площадь сферы радиуса R равна 4πR².
• Площадь сферического пояса равна 2πRh.
• В формуле площади пояса h — расстояние между плоскостями, ограничивающими пояс.
• Площадь сферического пояса зависит от R и h, но не от его положения на сфере.
• Если радиус увеличить в k раз, площадь сферы увеличится в k² раз.
• Площадь выражают в квадратных единицах.