"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Окружность связывает углы, хорды, касательные и секущие точными соотношениями. Степень точки помогает сравнивать произведения отрезков секущих, а радикальная ось объединяет точки, одинаково связанные с двумя окружностями. Свойства вписанных углов позволяют находить углы по дугам и хордам. Эти факты нужны, чтобы доказывать равенства и решать задачи на окружности, не угадывая нужные длины и углы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень точки относительно окружности — произведение отрезков секущей, проведённой через эту точку. Для внешней точки P и секущей PAB это PA·PB, где PA — внешняя часть, а PB — вся секущая; для внутренней точки перемножают части хорды. Поскольку результат сохраняется при выборе другой секущей, по одной известной паре отрезков можно находить другую.
Радикальная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно обеих окружностей равны. Геометрическое место — это множество точек, обладающих заданным свойством. Радикальная ось помогает находить точки, одинаково связанные с окружностями, и обычно является прямой.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Его величина равна половине величины дуги, на которую он опирается, или половине соответствующего центрального угла. Это позволяет вычислять углы по дугам и сравнивать углы, опирающиеся на одну хорду.
Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три его вершины. Её центр находится на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника и равноудалён от вершин. Поэтому расстояние от центра до любой вершины служит радиусом окружности.
Проведём через точку P две секущие, пересекающие окружность в A и B, а также в C и D. Треугольники PAC и PDB подобны: у них равны углы, образованные секущими, а другие углы опираются на общие дуги. Из пропорции соответствующих сторон получается PA·PB = PC·PD. Поэтому произведение отрезков не зависит от выбранной секущей и его можно называть степенью точки.
Для двух окружностей степень точки можно выразить через расстояние до центра и радиус: если расстояние от точки до центра равно d, а радиус — r, то степень равна d² − r². Чтобы описать точки, у которых степени равны, приравнивают выражения для обеих окружностей. Квадратичные члены с координатами точки сокращаются, остаётся линейное уравнение, то есть уравнение прямой. Нормаль этой прямой направлена вдоль линии центров, поэтому радикальная ось перпендикулярна линии центров; для концентрических окружностей отдельного такого направления нет.
Центральный угол опирается на ту же дугу, что и вписанный угол, и вдвое больше него. Это можно увидеть, соединив вершину вписанного угла с центром: получаются равнобедренные треугольники, поскольку их стороны-радиусы равны. Из равенства углов при основании и суммы углов треугольника следует нужное соотношение. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и их вершины расположены по одну сторону от неё, углы равны, поскольку они связаны с одной и той же дугой.
Серединный перпендикуляр к отрезку проходит через его середину под прямым углом; любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поэтому точка пересечения серединных перпендикуляров к двум сторонам треугольника равноудалена от трёх вершин. Она становится центром окружности, проходящей через эти вершины. Перпендикуляры пересекаются и для тупоугольного треугольника, но их общая точка находится вне треугольника.
В задаче полезно сначала отметить, какие точки лежат на окружности, какие прямые являются хордами или секущими и какие углы опираются на одну дугу. Затем ищут подобные треугольники, равные углы или равные расстояния: именно они подсказывают нужную теорему. После этого записывают соотношение с обозначенными отрезками и только затем подставляют числа. Такой порядок помогает не смешивать формулы для внутренней точки, внешних секущих и касательной.
| Ситуация | Соотношение | Когда применять |
|---|---|---|
| Вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу | Вписанный угол равен половине центрального | Чтобы найти угол или дугу |
| Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду | Углы равны, если вершины лежат по одну сторону от хорды | Чтобы доказать равенство углов |
| Две хорды, пересекающиеся внутри окружности | PA·PB = PC·PD | Чтобы найти неизвестный отрезок хорды |
| Секущие, проведённые из точки вне окружности | Внешняя часть первой · вся первая = внешняя часть второй · вся вторая | Чтобы связать длины двух секущих |
| Две окружности и их радикальная ось | Степени точек оси относительно окружностей равны; ось ⟂ линии центров | Чтобы найти общее геометрическое место точек |
Сначала определите, где находится точка пересечения: внутри окружности или вне её. Затем сопоставьте ситуацию с первой колонкой и проверьте, какие отрезки входят в произведение. Для углов отдельно учитывайте расположение вершин относительно хорды.
Задача 1. Хорды AB и CD пересекаются в точке P внутри окружности. Известны PA = 3, PB = 8 и PC = 4. Найти PD. Здесь точка внутри, поэтому нужны именно две части каждой хорды, а не полные длины от P до дальних концов окружности.
Ответ: PD = 6.
Задача 2. Из точки P вне окружности проведены касательная PT и секущая PAB. Известны PA = 4 и PB = 9. Найти PT. Внешняя часть секущей здесь равна PA, а PB обозначает всю секущую, поэтому подменять её внутренней частью AB нельзя.
Ответ: PT = 6.
Задача 3. Даны две окружности с центрами O₁ и O₂. Требуется построить их радикальную ось и определить её положение относительно O₁O₂. Ищем не линию, соединяющую центры, а точки, степени которых относительно окружностей одинаковы.
Ответ: радикальная ось — прямая точек равных степеней, перпендикулярная линии центров. Если общих касательных нет или они не подходят для построения, точки оси находят другим способом, например на продолжении линии центров.
В теореме о внешних секущих иногда перемножают внешнюю часть на внутреннюю. Ошибка возникает из-за того, что оба отрезка кажутся частями одной секущей, но в формуле второй множитель — вся секущая от P до дальнего пересечения. Проверка: запишите длину целой секущей как сумму внешней и внутренней частей и подставляйте её в произведение.
При пересекающихся хордах можно перепутать, какие отрезки нужно перемножить. Тогда в произведении оказываются отрезки, принадлежащие разным хордам, а равенство не соответствует теореме. Проверка: составьте два произведения отдельно, по одному для каждой хорды, например PA·PB и PC·PD.
Иногда считают, что любые вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны. Это не всегда так: вершины могут находиться по разные стороны от хорды, и тогда углы опираются на разные дуги. Проверка: отметьте дуги и положение вершин; используйте равенство углов только для вершин по одну сторону хорды.
Радикальную ось принимают за линию центров, потому что обе прямые определяются двумя окружностями. Но равенство степеней задаёт прямую, перпендикулярную линии центров, а не совпадающую с ней. Проверка: подставьте точку на линии центров в условие равенства степеней или вспомните, что нормаль радикальной оси направлена вдоль O₁O₂.
Для работы с вписанными углами и степенями точек нужны свойства центральных углов, хорд и касательных. Также пригодятся признаки равенства треугольников и подобие: с их помощью выводят соотношения отрезков и углов, а не просто подставляют числа в готовые формулы. Эти знания соединяют планиметрию об окружности с доказательством геометрических утверждений.
Степени точек применяют в задачах, где из одной точки проведены секущие или касательные к окружности. Радикальная ось помогает искать геометрическое место точек и доказывать, что несколько точек лежат на одной прямой. При решении полезно сначала распознать окружность и возможное подобие, а затем выбрать соотношение, подходящее именно к расположению точек.
Что называют степенью точки относительно окружности?
Это величина, связанная с произведением отрезков секущей, проведённой через точку. Для внешней точки она равна произведению внешней части секущей на всю её длину; для пересекающихся внутри окружности хорд — произведению двух частей одной хорды.
Почему произведение отрезков секущей не зависит от выбора секущей?
Треугольники, которые образуются двумя секущими и хордами окружности, подобны: у них есть общий угол, а другие углы опираются на одни и те же дуги. Из подобия следует равенство произведений соответствующих отрезков, поэтому результат не меняется при выборе секущей.
Как отличить теорему о пересекающихся хордах от теоремы о двух секущих?
При пересекающихся хордах точка находится внутри окружности, и перемножают две части каждой хорды: PA·PB = PC·PD. Если две секущие выходят из внешней точки, для каждой перемножают внешнюю часть на всю секущую.
Как найти длину касательной, если из той же точки проведена секущая?
Квадрат длины касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую: PT² = PA·PB. Подставьте известные длины и извлеките положительный квадратный корень, поскольку длина не бывает отрицательной.
Почему радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей?
Приравнивая степени точки относительно двух окружностей, получаем уравнение прямой. В нём сокращаются одинаковые квадраты координат, а оставшаяся прямая перпендикулярна вектору между центрами окружностей.
§ 9. Избранные вопросы планиметрии
