"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Решение треугольника — это нахождение всех его сторон и углов по известным элементам. Для этого используют теоремы синусов и косинусов: первая связывает стороны с противолежащими углами, вторая помогает найти сторону по двум другим и углу между ними. Выбор формулы зависит от исходных данных. Нужно также учитывать, что в некоторых случаях возможны два треугольника, а сумма углов каждого из них равна 180°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Решение треугольника — нахождение всех его сторон и углов по заданным элементам. Например, можно начать с двух сторон и угла между ними, а затем вычислить оставшиеся элементы. Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому, зная два угла, третий сразу находят вычитанием из 180°. Это помогает и решать треугольник, и проверять результат.
Теорема синусов утверждает, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Общее значение этих отношений равно диаметру описанной окружности — окружности, проходящей через все три вершины. Если её радиус равен R, то отношение равно 2R. Теорема позволяет переходить от известной пары «сторона — угол напротив неё» к другим сторонам или углам.
Теорема косинусов выражает квадрат одной стороны через две другие и угол между ними: a² = b² + c² − 2bc cos A. Здесь угол A расположен между сторонами b и c и лежит напротив стороны a. Такая связь нужна, когда известного противолежащего угла для применения теоремы синусов нет. По теореме можно найти третью сторону или угол, если известны все стороны.
Случай неоднозначности возникает, когда заданы две стороны и угол напротив одной из них, но не угол между сторонами. По этим данным иногда можно построить два разных треугольника. Причина в том, что одному значению синуса в промежутке от 0° до 180° могут соответствовать два угла: α и 180° − α. Поэтому найденный по теореме синусов угол не всегда определяет единственный ответ.
Чтобы получить из теоремы синусов равенство для двух сторон, приравнивают соответствующие дроби: a/sin A = b/sin B. Перемножив по диагонали, получают a sin B = b sin A, или a/b = sin A/sin B. Так можно выразить неизвестную сторону, если известны другая сторона и оба противолежащих угла, либо найти угол по известным сторонам и углу напротив одной из них. Теорема особенно удобна, когда в условии уже дана хотя бы одна пара «сторона — противолежащий угол».
Теорему косинусов можно вывести, опустив высоту из вершины треугольника на основание. Пусть стороны при угле A равны b и c, а основание a; проекция стороны b на сторону c равна b cos A, а высота — b sin A. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника a² = (c − b cos A)² + (b sin A)². После раскрытия скобок и использования sin² A + cos² A = 1 получается a² = b² + c² − 2bc cos A. Если A = 90°, то cos A = 0, поэтому формула превращается в a² = b² + c².
Формулу выбирают по тому, какие элементы уже известны. Если известны две стороны и заключённый между ними угол, теорема косинусов сразу даёт третью сторону; если известны все три стороны, она помогает найти угол. Теорема синусов подходит, когда есть сторона и противолежащий ей угол, поскольку тогда можно составить равенство с другой парой. Сначала стоит проверить, действительно ли известные элементы образуют нужную пару: это предотвращает подстановку неподходящего угла.
После нахождения стороны или угла задача обычно продолжается тем же способом. Если известны два угла, третий находят из равенства A + B + C = 180°; затем по теореме синусов можно вычислить остальные стороны. Если известны три стороны, сначала находят один угол по теореме косинусов, после чего другой угол вычисляют по той же теореме или теореме синусов. Последний угол получают из суммы 180° и сверяют, что все величины соответствуют треугольнику.
Особенно осторожно рассматривают данные о двух сторонах и угле, лежащем напротив одной из них. Теорема синусов может дать для неизвестного угла α или 180° − α, ведь синусы этих углов равны. Если оба значения вместе с известным углом дают сумму меньше 180° и соответствуют сторонам, возникают два треугольника; если подходит только одно — один. Если ни одно значение не подходит или длины не позволяют построить треугольник, решения нет.
| Что сравниваем | Теорема синусов | Теорема косинусов |
|---|---|---|
| Формула | a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R | a² = b² + c² − 2bc cos A |
| Какие данные особенно удобны | Известна сторона и противолежащий ей угол | Известны две стороны и угол между ними либо все три стороны |
| Какой элемент можно найти | Сторону или угол по соответствующей паре | Третью сторону или угол по трём сторонам |
| Связь с описанной окружностью или теоремой Пифагора | Общее отношение равно диаметру описанной окружности 2R | При прямом угле становится теоремой Пифагора |
| На что обратить внимание при применении | Сопоставлять сторону с углом напротив неё | Брать угол между двумя сторонами в формуле |
Сначала найдите в условии данные, которые образуют нужную пару: это подскажет, какую теорему применить. Для теоремы косинусов проверьте, что выбран именно угол между известными сторонами, а для теоремы синусов — угол напротив выбранной стороны. После вычислений проверьте допустимость углов и сторон.
В треугольнике ABC даны угол A, сторона BC и угол B. Требуется найти AC. Обозначим BC = a, AC = b, а третий угол — C. Здесь известна пара a и A, так как сторона BC лежит напротив угла A; значит, удобно применить теорему синусов.
Ответ: AC = BC · sin B/sin A. Такая запись показывает ход решения и подходит для любых допустимых значений заданных углов. Перед вычислением следует проверить, что A и B положительны и их сумма меньше 180°.
Даны стороны b = 7, c = 9 и угол A = 60° между ними. Найдём сторону a и затем остальные углы. Поскольку известны две стороны и заключённый между ними угол, сначала применяем теорему косинусов.
Ответ: a = √67 ≈ 8,19, B ≈ 42,5°, C ≈ 77,5°. Выбор косинусной теоремы на первом шаге обоснован тем, что угол 60° расположен между данными сторонами. Затем оставшиеся углы можно находить разными способами, но их сумма должна составлять 180°.
Даны стороны a = 4, b = 5 и c = 6. Нужно убедиться, что треугольник существует, и найти его углы. Сначала проверяем неравенства: 4 + 5 > 6, 4 + 6 > 5 и 5 + 6 > 4, значит, такой треугольник существует.
Ответ: треугольник существует, его углы приблизительно равны 41,4°, 55,8° и 82,8°. Проверка неравенств нужна до вычислений, поскольку формулы сами по себе не гарантируют, что заданные длины образуют треугольник. Округлённые значения углов могут дать сумму, немного отличающуюся от 180°.
В теореме синусов иногда сопоставляют сторону не с тем углом. Например, сторона BC лежит напротив A, а не B; ошибка возникает, если ориентироваться на буквы без схемы соответствий. Перед подстановкой запишите пары a — A, b — B, c — C и проверьте, что в дроби сторона и угол стоят друг напротив друга.
В теореме косинусов подставляют угол, который не заключён между двумя известными сторонами. Формула с таким углом описывает другой набор элементов и приводит к неверному результату, даже если все числа перенесены правильно. Для a² = b² + c² − 2bc cos A угол A должен быть между b и c; это удобно проверить по обозначениям вершин.
При нахождении угла по синусу часто считают, что ответ только один. Это происходит потому, что калькулятор обычно показывает лишь одно значение обратной функции, хотя sin α = sin (180° − α). Проверьте оба возможных угла: каждый должен быть положительным, а сумма углов треугольника не должна превышать 180°.
Ещё одна ошибка — пропустить проверку неравенств треугольника или суммы углов. Тогда вычисления могут дать длины, которые нельзя соединить в треугольник, либо набор углов с неверной суммой. Проверяйте, что сумма любых двух сторон больше третьей, все углы положительны, а их сумма равна 180°; небольшая разница допустима из-за округления.
Для решения треугольников нужны теорема Пифагора, свойства углов и соотношения между сторонами и углами; теорема косинусов расширяет применение теоремы Пифагора на непрямоугольные треугольники. Теорема синусов связывает стороны треугольника с радиусом описанной окружности. Найденные соотношения применяют, когда нужно вычислить расстояние или угол, которые нельзя измерить напрямую, например по доступным длинам и направлениям.
В каком случае лучше применять теорему синусов?
Она удобна, когда известны сторона и противолежащий ей угол, а также есть другая пара «сторона — противолежащий угол» или можно найти такой угол. По равенству отношений можно вычислить неизвестные элементы. Следите, чтобы каждая сторона была сопоставлена именно с углом напротив неё.
Как понять, какой угол подставлять в теорему косинусов?
Для нахождения стороны по двум другим подставляйте угол, заключённый между этими двумя известными сторонами. Например, чтобы найти a по сторонам b и c, используйте угол A: a² = b² + c² − 2bc cos A. Этот угол лежит напротив искомой стороны.
Почему теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора?
Если угол между сторонами b и c прямой, то его косинус равен нулю. В формуле a² = b² + c² − 2bc cos A последний член исчезает, и остаётся a² = b² + c² — теорема Пифагора.
Могут ли по заданным сторонам и углу получиться два треугольника?
Да, если известны две стороны и угол напротив одной из них, возможны два положения третьей вершины. Тогда угол, найденный по синусу, может иметь два значения: α и 180° − α. Нужно проверить, подходит ли каждое значение к сумме углов треугольника и заданным сторонам.
Как проверить, существует ли треугольник с заданными сторонами?
Проверьте неравенства треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Если хотя бы одно условие нарушено, треугольника не существует. При равенстве получается вырожденная фигура, а не треугольник.
81. Решение треугольников
