82. Вычисление биссектрис и медиан треугольника

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Медиану, проведённую к стороне a, обозначают m_a. Такое обозначение помогает сразу понять, к какой стороне относится отрезок, и не спутать его с длиной самой стороны.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с противоположной стороной. Биссектриса угла делит угол на две равные части, а её длину к стороне a обозначают l_a. Индекс a указывает, что конец отрезка лежит на стороне a.

Стороны a, b, c лежат соответственно напротив углов A, B, C. Значит, m_a и l_a проведены из вершины A, а b и c прилегают к углу A. Перед вычислением полезно определить вершину и противоположную ей сторону: так проще правильно выбрать буквы в формуле.

Формулы длины медианы и биссектрисы выражают m_a и l_a через стороны a, b и c. Это позволяет находить нужный отрезок, даже если его длина непосредственно не дана. Формулы применимы к треугольнику, поэтому его стороны должны удовлетворять неравенству треугольника.

Как это устроено

Для вывода формулы медианы используют теорему Стюарта — соотношение между сторонами треугольника и отрезком, проведённым к противоположной стороне. Медиана делит сторону a на две части длиной a / 2. Подстановка этих равных частей в теорему Стюарта даёт равенство, из которого выражают квадрат медианы через стороны. Затем извлекают квадратный корень, так как длина отрезка положительна.

Формула медианы к стороне a имеет вид m_a = ½√(2b² + 2c² − a²). Здесь a — сторона, которую медиана делит пополам, а b и c — стороны, идущие из вершины A. В формулу входят все три стороны: положение середины стороны a относительно вершины определяется всем треугольником. Проверим равносторонний случай: если a = b = c, то m_a = ½√(3a²) = a√3 / 2, что совпадает с высотой равностороннего треугольника.

Чтобы получить формулу биссектрисы, сначала применяют теорему о биссектрисе: она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон. Если части стороны a равны x и y, то x : y = b : c, а x + y = a. Значит, x = ab / (b + c), y = ac / (b + c). Эти выражения подставляют в теорему Стюарта вместе с длиной биссектрисы и после преобразований получают её длину.

Формула биссектрисы к стороне a записывается так: l_a = √(bc((b + c)² − a²)) / (b + c). В ней присутствуют все три стороны: a задаёт противоположную сторону, а b и c определяют деление этой стороны и положение вершины. Под корнем стоит неотрицательное выражение для существующего треугольника, поэтому формула даёт действительную длину.

Сравнение двух отрезков начинается с того, как они делят противоположную сторону. Медиана всегда делит её на равные части, а биссектриса — на части, пропорциональные b и c. Поэтому при b ≠ c эти отрезки обычно не совпадают, хотя оба выходят из одной вершины. Если b = c, отношение частей биссектрисы равно 1 : 1, и она одновременно становится медианой.

Формулы длины медианы и биссектрисы

Сначала найдите вершину, из которой проведён отрезок, и противоположную ей сторону: это определит индекс у m или l. Затем используйте соответствующую формулу, подставляя длины сторон на свои места. Последняя строка таблицы помогает проверить, должны ли медиана и биссектриса совпасть.

Разбор задач

Медиана к стороне длиной 6

В треугольнике стороны, прилежащие к вершине A, равны 5 и 7, а противоположная сторона равна 6. Нужно найти m_a. Поскольку указана именно вершина A, стороны 5 и 7 — это b и c, а сторона 6 — a.

1. Запишем формулу: m_a = ½√(2b² + 2c² − a²).
2. Подставим значения: m_a = ½√(2·5² + 2·7² − 6²) = ½√(50 + 98 − 36).
3. Упростим: m_a = ½√112 = ½·4√7 = 2√7. Под корнем получилось положительное число, что согласуется с тем, что длина медианы существует.

Ответ: 2√7. Здесь важно, что сторона 6 стоит со знаком минус в формуле, поскольку она противоположна вершине, из которой проведена медиана. Стороны 5 и 7 входят как прилежащие.

Биссектриса напротив стороны 13

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Требуется длина биссектрисы угла, лежащего напротив стороны 13. Значит, a = 13, а прилежащие к этому углу стороны b и c равны 14 и 15; их порядок в формуле не влияет на результат.

1. Запишем формулу: l_a = √(bc((b + c)² − a²)) / (b + c).
2. Подставим стороны: l_a = √(14·15·((14 + 15)² − 13²)) / 29.
3. Вычислим разность квадратов: 29² − 13² = 841 − 169 = 672. Тогда l_a = √(210·672) / 29 = 168√5 / 29.

Ответ: 168√5 / 29. Сторона 13 здесь противоположна нужному углу, а 14 и 15 прилежат к нему. Такое соотнесение предотвращает наиболее частую ошибку при использовании формулы.

Медиана и биссектриса из одной вершины

Стороны треугольника равны 10, 13 и 15. Нужно найти медиану и биссектрису из вершины между сторонами 10 и 13 и сравнить их. Противоположная этому углу сторона равна 15, поэтому a = 15, b = 10, c = 13.

1. Для медианы подставим стороны: m_a = ½√(2·10² + 2·13² − 15²) = ½√313.
2. Для биссектрисы получим l_a = √(10·13·((10 + 13)² − 15²)) / 23 = √(130·304) / 23 = 8√617 / 23.
3. Сравним значения: m_a ≈ 8,85, а l_a ≈ 8,63. Следовательно, биссектриса короче медианы.

Ответ: m_a = √313 / 2, l_a = 8√617 / 23; m_a > l_a. В обеих формулах используются одни и те же стороны, потому что отрезки проведены из одной вершины. Сравнение приближённых значений удобно для вывода, но точные ответы лучше оставить в виде выражений с корнем.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять в формулу m_a не ту сторону: например, считать a одной из прилежащих сторон. Такое случается, если не сверить индекс с вершиной. Перед подстановкой отметьте: a лежит напротив A, а b и c прилегают к A.

Вторая ошибка — считать, что биссектриса всегда делит противоположную сторону пополам. Путают её свойство делить угол пополам со свойством медианы делить сторону пополам. Проверка проста: по теореме о биссектрисе части относятся как b : c, и равны они только при b = c.

Третья ошибка — забыть множитель ½ в формуле медианы или разделить на b + c не всё выражение для биссектрисы. Это происходит при переносе формул в вычисления. Перепишите формулу целиком, прежде чем подставлять числа, и проверьте, где заканчивается квадратный корень и на что делится результат.

Четвёртая ошибка — неверно раскрыть скобки или возвести в квадрат сумму сторон. Например, (b + c)² — это b² + 2bc + c², а не b² + c². Сначала вычислите выражение в скобках и его квадрат, а затем выполняйте остальные действия; после подстановки оцените, получилось ли под корнем неотрицательное число.

Связь с другими темами

Для вывода формул нужны теорема Стюарта и теорема о биссектрисе треугольника: первая связывает стороны с проведённым отрезком, вторая задаёт отношение частей стороны. Применяя формулы, нужно уверенно обозначать стороны и углы, извлекать квадратный корень и упрощать выражения. Эти умения пригодятся в задачах на нахождение элементов треугольника, а позднее — при изучении геометрических неравенств.

Что запомнить

• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса делит угол пополам.
• Медиана к стороне a имеет длину m_a = ½√(2b² + 2c² − a²).
• Биссектриса к стороне a имеет длину l_a = √(bc((b + c)² − a²)) / (b + c).
• В формулах важно не перепутать противоположную сторону a и прилежащие стороны b, c.
• Если b = c, биссектриса из вершины A одновременно является медианой.