"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Площадь треугольника можно вычислить разными способами — выбор зависит от того, какие данные известны. Если есть сторона и высота, используют их произведение, делённое на два; если известны две стороны и угол между ними — формулу с синусом. По трём сторонам помогает формула Герона, а радиусы вписанной и описанной окружностей дают ещё две удобные формулы. Главное — подставлять только соответствующие друг другу величины и не путать радиусы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Полупериметр треугольника — половина суммы длин его сторон: p = (a + b + c) / 2. Здесь a, b и c — длины сторон, а p удобно использовать вместо полного периметра в формулах площади. Если стороны измерены в сантиметрах, полупериметр тоже будет измеряться в сантиметрах.
Формула Герона находит площадь треугольника по длинам всех трёх сторон: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). В ней p — полупериметр, а S — площадь. Она особенно полезна, когда стороны известны, но высоту или углы найти неудобно.
Радиус вписанной окружности r — расстояние от её центра до стороны треугольника; радиус перпендикулярен стороне. Вписанная окружность касается каждой стороны, поэтому одно и то же r можно использовать как высоту трёх частей, на которые треугольник делится. Отсюда получается формула площади S = pr.
Радиус описанной окружности R — расстояние от её центра до любой вершины треугольника. Все три вершины лежат на этой окружности, поэтому расстояние до них одинаково. Если известны стороны a, b, c и радиус R, площадь можно вычислить по формуле S = abc / 4R.
Основная формула площади треугольника — S = ah / 2, где a выбрана в качестве основания, а h — высота, опущенная именно на эту сторону. Треугольник можно достроить до параллелограмма с таким же основанием и высотой: его площадь будет вдвое больше. Если выбрать другую сторону, изменятся и основание, и соответствующая высота, но площадь самого треугольника останется той же.
Иногда высоту искать не нужно: её можно заменить выражением с синусом угла. Пусть стороны a и b образуют угол C; высота к стороне a равна b sin C, потому что в прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Подставив эту высоту в S = ah / 2, получим S = ab sin C / 2. Именно поэтому здесь подходят только две стороны, образующие угол C.
Формулу Герона получают, заменяя высоту данными о сторонах. Если угол между сторонами b и c равен A, то h = c sin A, а теорема косинусов связывает cos A со сторонами: cos A = (b² + c² − a²) / 2bc. Из sin² A = 1 − cos² A и S = ah / 2 следует 16S² = 4b²c² − (b² + c² − a²)². Раскладывая правую часть на множители, получаем 16S² = (a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c); выражая множители через p, приходим к формуле Герона.
Формула S = pr следует из разбиения треугольника на три меньших треугольника с вершиной в центре вписанной окружности. Их основания — стороны исходного треугольника, а высота каждого равна r, поскольку радиус к точке касания перпендикулярен стороне. Складывая площади, получаем S = ar / 2 + br / 2 + cr / 2 = (a + b + c)r / 2 = pr. Значит, формула работает потому, что общий множитель r можно вынести за скобки.
Формула S = abc / 4R связывает стороны треугольника с радиусом описанной окружности. Начнём с S = ab sin C / 2, где C — угол между сторонами a и b, а сторона c лежит напротив него. По теореме синусов c / sin C = 2R, поэтому c = 2R sin C. Подставив sin C = c / 2R в формулу площади, получаем S = ab(c / 2R) / 2 = abc / 4R.
| Известные данные | Формула площади | Условия и обозначения |
|---|---|---|
| Сторона и высота к ней | S = ah / 2 | h — высота, проведённая к стороне a |
| Две стороны и угол между ними | S = ab sin C / 2 | C — угол между сторонами a и b |
| Три стороны | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) | Формула Герона; p = (a + b + c) / 2 |
| Полупериметр и радиус вписанной окружности | S = pr | r — радиус вписанной окружности |
| Три стороны и радиус описанной окружности | S = abc / 4R | R — радиус описанной окружности |
Сначала выпиши, какие величины даны в задаче, и найди строку, где они совпадают с известными данными. Проверь обозначения: высота должна относиться к выбранной стороне, а угол — находиться между выбранными сторонами. Если подходящих формул несколько, выбирай ту, где меньше промежуточных вычислений.
Задача 1. Найти площадь треугольника с основанием 10 см и высотой к нему 6 см. Даны сторона и проведённая к ней высота, поэтому дополнительные построения не нужны. Используем формулу S = ah / 2: деление на два обязательно, так как треугольник составляет половину параллелограмма с таким же основанием и высотой.
Ответ: 30 см². В результате получились квадратные сантиметры, потому что при вычислении площади перемножаются две длины.
Задача 2. Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 7 см и 10 см, а угол между ними — 30°. Высота не дана, но её можно выразить через сторону 10 см и синус угла: h = 10 sin 30°. Поэтому выбираем формулу S = ab sin C / 2 и не ищем третью сторону.
Ответ: 17,5 см². Синус здесь взят от угла между сторонами 7 см и 10 см, как требует формула.
Задача 3. Найти площадь треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Высота и углы неизвестны, поэтому удобнее применить формулу Герона. Перед вычислением проверяем, что стороны могут образовать треугольник: 13 + 14 > 15, 13 + 15 > 14 и 14 + 15 > 13.
Ответ: 84 см². Проверка неравенств треугольника подтверждает, что исходные длины допустимы, а итоговая площадь положительна.
В формулу S = ab sin C / 2 иногда подставляют угол, который не заключён между выбранными сторонами. Это происходит, когда ученик смотрит только на то, что угол дан в условии, и не проверяет его положение. Перед подстановкой назови обе стороны из формулы и убедись, что они образуют этот угол.
При вычислении площади через основание и высоту могут забыть разделить произведение на два. Обычно так случается из-за смешения площади треугольника с площадью параллелограмма. Проверь запись S = ah / 2 и представь параллелограмм с теми же основанием и высотой: его площадь вдвое больше.
В формуле Герона иногда вместо полупериметра используют периметр или ошибаются в разностях p − a, p − b, p − c. Причина — невнимательность при вычислении либо неверное прочтение формулы. Сначала отдельно найди p, затем выпиши все три разности и проверь, что их произведение под корнем неотрицательно.
Радиусы вписанной и описанной окружностей могут перепутать, потому что оба обозначают буквой r или R и оба связаны с треугольником. Но в S = pr используется радиус вписанной окружности, а в S = abc / 4R — описанной. Проверь смысл данных: вписанная окружность касается сторон, описанная проходит через вершины.
Для применения формул нужны знания о площади треугольника через основание и высоту, а также теоремы синусов и теоремы косинусов. Первая помогает заменить высоту выражением с синусом, а теорема косинусов участвует в выводе формулы Герона. Понимание этих связей позволяет не только подставлять числа, но и получать нужные формулы из уже известных.
Формулы пригодятся в задачах, где по площади требуется найти сторону, высоту или радиус, а также при вычислении площадей сложных фигур. Такую фигуру можно разбить на треугольники, найти площади частей удобными способами и сложить результаты. Выбор формулы каждый раз зависит от того, какие величины известны или проще получить.
Какую формулу выбрать, если известны только три стороны треугольника?
Используй формулу Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c) / 2. Сначала найди полупериметр, затем вычисли разности.
Почему в формуле Герона используется полупериметр, а не периметр?
При преобразовании формулы площади через высоту и теорему косинусов возникают множители, равные половинам суммы сторон с вычтенными сторонами. Это выражения p − a, p − b и p − c, где p — именно полупериметр.
Как понять, какой угол подставлять в формулу площади через синус?
Нужен угол, заключённый между теми двумя сторонами, которые стоят в формуле. Например, для сторон a и b берут угол C между ними: S = ab sin C / 2.
Можно ли применять формулу Герона к любым трём положительным длинам?
Нет. Эти длины должны образовывать треугольник: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Иначе треугольник не существует, а формула не даёт его действительную площадь.
Чем отличаются радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности?
Вписанная окружность касается всех сторон, а её радиус проведён от центра к стороне перпендикулярно ей. Описанная окружность проходит через все вершины, и её радиус соединяет центр с вершиной.
83. Формула Герона и другие формулы для площади треугольника
